奇异值分解（SVD）的三个矩阵是否均正交？对角矩阵S需正交吗？

嘿，这个问题抓得很准！咱们把两个小问题拆开来说：

1. SVD的三个矩阵是否全部为正交矩阵？ #

答案是否定的。标准的奇异值分解定义是：对于任意$m \times n$矩阵$A$，可以分解为 $A = U\Sigma V^T$，其中：

• $U$是$m \times m$的正交矩阵（列向量两两正交且都是单位向量，满足$U^TU = UU^T = I_m$）
• $V$是$n \times n$的正交矩阵（同理满足$V^TV = VV^T = I_n$）
• $\Sigma$（也就是你说的$S$）是$m \times n$的对角矩阵，对角线上的元素是非负的奇异值

只有当$\Sigma$满足极端特殊条件时才会是正交矩阵，绝大多数情况下它都不是，所以三个矩阵不会全部是正交矩阵。

2. 已知U和V是正交矩阵，S是否必须是正交矩阵？ #

当然不是！你说得对，并非所有对角矩阵都是正交矩阵，而SVD里的$\Sigma$也没有必须成为正交矩阵的要求。

要回忆正交矩阵的核心要求：首先得是方阵，其次满足$Q^TQ = QQ^T = I$（也就是列/行向量构成标准正交基）。而SVD中的$\Sigma$：

• 当$A$不是方阵时，$\Sigma$本身就不是方阵，连正交矩阵的基本前提都不满足；
• 就算$A$是方阵（$m=n$），$\Sigma$的对角元素是奇异值（非负实数），只有当所有奇异值都等于1时，$\Sigma$才是单位矩阵$I$，这时候它才是正交矩阵。但如果奇异值有不等于1的情况（比如2、0.5这类），那$\Sigma^T\Sigma$会是对角元素为奇异值平方的矩阵，显然不等于单位矩阵$I$，自然不是正交矩阵。

举个简单例子：假设$A$是2×2矩阵$\begin{pmatrix}2 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$，它的SVD分解就是$U=I$，$\Sigma=\begin{pmatrix}2 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$，$V=I$。这里$\Sigma$是对角矩阵，但$\Sigma^T\Sigma=\begin{pmatrix}4 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix} \neq I$，所以它不是正交矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者foobarbaz