嘿，你的思路完全没问题——其实原命题本身是不成立的，证明同余式n²+3n+5 ≡ 0 mod 121无解就是最直接的路径，你已经走到关键步骤了，接下来可以这么推进：

第一步：降阶到模11分析二次剩余 #

你已经得到了x² ≡ 88 mod 121，先把这个式子放到模11下看：

• 88是11的倍数，所以88 ≡ 0 mod 11，等式变为x² ≡ 0 mod 11
• 这说明x必须是11的倍数，因为只有11的倍数的平方才会被11整除。我们设x = 11k，其中k是整数。

第二步：代入模121式子导出矛盾 #

把x=11k代入x² ≡88 mod121：

• 左边展开：(11k)² = 121k²，显然121k² ≡ 0 mod121
• 右边是88 mod121 = 88
• 这就得到了0 ≡ 88 mod121，这显然是矛盾的——88根本不是121的倍数。

额外验证：你的配方是正确的 #

顺便帮你确认下之前的配方步骤：
在模121下，2的逆元是61（因为2×61=122≡1 mod121），所以配方时的3/2等价于3×61=183≡62 mod121，计算(n+62)²展开后减去常数项：
62²=3844，3844-5=3839，3839 mod121=88，完全正确，你的配方没有问题。

这样就能推出x²≡88 mod121无解，进而证明原同余式无解，也就说明不存在任何整数n使得121整除n²+3n+5，原命题不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DarkRunner