$\mathbb{R}^3$中位于平面内的纽结是否一定是平凡纽结？

答案是肯定的——所有位于$\mathbb{R}^3$某一平面内的纽结，必然是平凡纽结。

核心原因解释 #

首先明确纽结等价（同纽结型）的定义：两个纽结等价，当且仅当存在$\mathbb{R}^3$到自身的环境同痕（连续的双参数同胚族，能把一个纽结逐步变形为另一个）。

对于平面内的任意简单闭曲线（也就是题目中的平面纽结），我们可以借助Schönflies定理来理解：平面内的任何简单闭曲线都会把平面分成一个有界内部区域和无界外部区域，并且存在平面到自身的同胚，能把这条闭曲线直接映射成标准的单位圆周。

更通俗地说，你可以把平面里的这条闭曲线想象成一根能在平面内自由移动、拉伸但不会扯断或交叉的绳子——你完全可以在平面内通过连续变形，把它慢慢“理顺”成一个标准的圆。而这个平面内的变形过程，本身就是$\mathbb{R}^{3$中的环境同痕（毕竟平面是$\mathbb{R}}3$的子空间，变形全程没有超出三维空间的范围）。

这就直接证明了：平面内的纽结和平面圆周是同纽结型的，也就是题目定义的平凡纽结。

补充说明 #

可能有人会疑问：如果纽结所在的平面不是常规的xy平面，而是某个倾斜平面呢？其实这完全不影响结论——$\mathbb{R}^{3$中存在能把任意平面映射到xy平面的同胚，我们可以先把倾斜平面里的纽结映射到xy平面，再按照上述方法变形为标准圆周，整个过程依然是$\mathbb{R}}3$中的环境同痕，所以结论依然成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者陈通昱