乘积度量中的连通性：等距复制证明适用性的疑问

我最近在梳理一份数学证明的时候，发现了一个绕不过去的疑问：

• 在证明的后半部分，$X_{j,a}$被描述为依据证明1.6.4得到的$X_j$的等距复制。
• 但问题在于，证明1.6.4只有当涉及的度量是守恒度量时才成立，而文中明确说了这里用的是乘积度量，根本不是守恒度量。
• 所以我实在搞不懂，作者为什么会把这个特定映射当成等距映射来看待。

注：守恒度量：设$(X,d)$...

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathMan