无限Leinster群的存在是否意味着存在无限个完全数？

先明确两个关键概念：

• Leinster群：有限群$G$如果满足「所有正规子群的阶之和等于$2|G|$」，就被称为Leinster群。
• 完全数：一个正整数如果等于它所有真正约数的和，就叫完全数。

Tom Leinster已经证明了一个重要结论：交换群$G$是Leinster群，当且仅当$G$是循环群且它的阶$|G|$是完全数。

目前有两个和它们相关的猜想：

• 猜想IPN：“完全数的数量是无限的。”
• 猜想ILG：“Leinster群的数量是无限的。”

我们很容易看出，IPN是能推出ILG的——毕竟每一个无限的完全数对应一个循环Leinster群。但反过来的问题就有意思了：如果存在无限多个Leinster群，是否就意味着一定存在无限多个完全数？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ned grekerzberg