求解反常积分$$\int^{ \infty }_0\frac{x^4}{e^{x^2}+1}dx$$的方法咨询

我试着直接硬算这个定积分，结果完全没得到有效结果。我确定得利用定积分的某些性质来求解，但就是摸不准具体该用哪些性质。

之前我做了这样的变量替换：1+e^{-t}=m \implies -e^{-t}dt=dm，当时居然漏掉了负号！就算后来把负号修正过来，接着用分部积分计算最终表达式，最后还是得到了无定义的结果 (\infty)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tanuj