如何证明奇素数p不整除2^p -1？（问题为编辑版本）

嘿，这个问题其实用费马小定理就能轻松搞定，咱们一步步拆解来看：

1. 先确认费马小定理的适用前提和内容：
   对于任意奇素数p，以及与p互质的整数a，都满足 a^(p-1) ≡ 1 mod p。
   这里p是奇素数，显然2和p没有公因数（p≠2），所以a=2完全符合定理的适用条件。

2. 逐步推导核心结论：

   • 把a=2代入费马小定理，得到 2^(p-1) ≡ 1 mod p。
   • 给等式两边同时乘以2，等式依然成立：2^p ≡ 2 mod p。
   • 再给两边同时减去1，就得到：2^p - 1 ≡ 2 - 1 = 1 mod p。

3. 解读这个同余式的意义：
   2^p - 1 ≡ 1 mod p 意味着当我们把 2^p -1 除以p时，余数是1而非0。根据整除的定义，只有当一个数除以p余数为0时，p才能整除它，所以显然p不可能整除 2^p -1。

要是你喜欢反证法的思路，也可以这么想：假设p整除2^p -1，那必然有2^p ≡1 mod p，但根据费马小定理，2^p≡2 mod p，这就会推出1≡2 mod p，也就是p整除1——可p是奇素数，这显然不可能，矛盾之下，原假设不成立，结论自然正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者thisisourconcerndude