求助：如何证明概率等式$p(a \cap \bar b)=p(a)+p(a\cup b)$？

嘿，我猜你大概率是打错等式啦？因为$p(a \cap \bar b)=p(a)+p(a\cup b)$这个式子其实并不成立，举个简单例子就能验证：假设a和b是互斥事件，$p(a)=0.3$，$p(b)=0.4$，那$p(a∩\bar{b})=0.3$，但$p(a)+p(a∪b)=0.3 + 0.7=1.0$，明显不相等。正确的关联等式应该是$p(a \cap \bar b) = p(a) - p(a \cap b)$，或者结合并集概率推导出$p(a \cap \bar b) = p(a\cup b) - p(b)$。下面我带你从集合运算和概率公理一步步推导，搞清楚背后的逻辑：

我们可以把事件a拆成两个完全互斥的部分：既属于a又属于b的部分，以及属于a但不属于b的部分，也就是：
$$a = (a \cap b) \cup (a \cap \bar{b})$$
这两个子事件是互斥的（一个元素不可能同时在b和它的补集$\bar{b}$里），根据概率的可加性公理——互斥事件的并集概率等于各自概率之和，所以：
$$p(a) = p(a \cap b) + p(a \cap \bar{b})$$

把上面的式子移项，直接就能得到我们要的关于$p(a \cap \bar{b})$的表达式：
$$p(a \cap \bar{b}) = p(a) - p(a \cap b)$$

如果你想把这个结果和$p(a\cup b)$联系起来，回忆概率的加法公式：
$$p(a\cup b) = p(a) + p(b) - p(a \cap b)$$
我们可以把这个公式里的$p(a \cap b)$解出来：
$$p(a \cap b) = p(a) + p(b) - p(a\cup b)$$
把它代入第二步的式子中：
$$p(a \cap \bar{b}) = p(a) - [p(a) + p(b) - p(a\cup b)]$$
化简后就得到：
$$p(a \cap \bar{b}) = p(a\cup b) - p(b)$$

你提到想用到德摩根定律，其实也能走通，只是稍微绕一点：
根据德摩根定律，$a \cap \bar{b} = \overline{\bar{a} \cup b}$（定律内容：$\overline{X \cup Y} = \bar{X} \cap \bar{Y}$，这里把X换成$\bar{a}$，Y换成b就得到这个等式）。
然后利用补集的概率公式$p(\overline{X}) = 1 - p(X)$，所以：
$$p(a \cap \bar{b}) = 1 - p(\bar{a} \cup b)$$
再用加法公式展开$p(\bar{a} \cup b)$：
$$p(\bar{a} \cup b) = p(\bar{a}) + p(b) - p(\bar{a} \cap b)$$
而我们知道$p(\bar{a}) = 1 - p(a)$，$p(\bar{a} \cap b) = p(b) - p(a \cap b)$，把这些代入后一步步化简，最终也会得到和前面一样的结果~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者larry mintz