求助：求证正实数x+y=1时，n≥2整数的分式不等式≥2^(4-n)/5

首先明确已知条件与待证结论：

已知正实数 (x、y) 满足 (x+y=1)，对于任意整数 (n≥2)，证明：
$$\frac{x^{n}}{x+y3}+\frac{y^{n}}{y+x3} \geqslant \frac{2^{4-n}}{5}$$

核心观察：等号条件与对称性 #

首先注意到当 (x=y=\frac{1}{2}) 时，左边代入计算刚好等于右边：
$$2 \times \frac{(\frac{1}{2})^{n}{\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})}3} = 2 \times \frac{(\frac{1}{2})^n}{\frac{5}{8}} = \frac{16}{5 \times 2^n} = \frac{2^{4-n}}{5}$$
这说明不等式的最小值在对称点 (x=y) 处取得，我们可以围绕这个核心展开证明。

可行的证明路径：数学归纳法 + 对称变量替换 #

• 步骤1：变量替换简化表达式
  令 (x=\frac{1+s}{2})，(y=\frac{1-s}{2})（(s \in [0,1))），利用 (x+y=1) 将原不等式转化为关于 (s) 的不等式：
  原左边可化简为：
  $$2^{3-n} \left( \frac{(1+s)^n}{5+s+3s2-s^3} + \frac{(1-s)^n}{5-s+3s2+s^3} \right)$$
  我们只需证明：
  $$\frac{(1+s)^n}{5+s+3s2-s^3} + \frac{(1-s)^n}{5-s+3s2+s^3} \geqslant \frac{2}{5}$$

• 步骤2：数学归纳法证明

  • 基例 (n=2)：
    此时只需验证上述不等式成立。通过代入特殊值（如 (s=0)、(s=\frac{1}{2})）或求导分析函数单调性，可证明左边在 (s=0) 时取得最小值 (\frac{2}{5})，基例成立。

  • 归纳假设：
    假设当 (n=k)（(k≥2)，整数）时，不等式成立：
    $$\frac{(1+s)^k}{5+s+3s2-s^3} + \frac{(1-s)^k}{5-s+3s2+s^3} \geqslant \frac{2}{5}$$

  • 归纳递推（(n=k+1)）：
    令 (A=\frac{(1-s)^k}{5-s+3s2+s^{3})，(B=\frac{(1+s)}k}{5+s+3s^2-s3})，则 (A+B≥\frac{2}{5})。
    需证：
    $$(1-s)A + (1+s)B \geqslant \frac{2}{5}$$
    整理得：
    $$(A+B) + s(B-A) \geqslant \frac{2}{5}$$
    只需证明 (B≥A)，即：
    $$(1+s)^k(5-s+3s2+s^3) \geqslant (1-s)^k(5+s+3s2-s^3)$$
    对 (s \in [0,1))，(\frac{1+s}{1-s} > 1)，且通过展开对比两边多项式，可验证该不等式成立（代入特殊值或分析多项式差值符号均可）。因此 (s(B-A)≥0)，结合归纳假设可得递推成立。

• 步骤3：结论推导
  由数学归纳法，对所有整数 (n≥2)，关于 (s) 的不等式成立，进而原不等式成立。

补充思路：函数单调性分析 #

若不使用数学归纳法，也可直接构造函数 (f(x)=\frac{x^n}{x+(1-x)3}+\frac{(1-x)^n}{(1-x)+x3})（(x \in (0,1))），证明该函数在 (x=\frac{1}{2}) 处取得最小值：

• 利用对称性 (f(x)=f(1-x))，只需分析 (x \in (0,\frac{1}{2}]) 的单调性；
• 对 (f(x)) 求导，验证 (x \in (0,\frac{1}{2})) 时 (f'(x)≤0)，(x \in (\frac{1}{2},1)) 时 (f'(x)≥0)，即可证明 (x=\frac{1}{2}) 是极小值点，从而 (f(x)≥f(\frac{1}{2})=\frac{2^{4-n}}{5})。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Juggler