证明当n→∞时∫₀^+∞|f(x-yₙ)-b|²dx趋于0的问题
咱们来一步步搞定这个积分收敛的问题～首先先明确题目给出的所有条件，避免理解偏差：
已知条件：
- $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$是连续函数；
- 存在正数$k>0$，当$x \to +\infty$时，$|f(x)-a| \le e^{-kx}$（其中$a\neq b$），换句话说，当$x$足够大时，$f(x)$趋近于$a$；
- 当$x \to -\infty$时，$|f(x)-b| \le e^{kx}$，也就是当$x$足够小时，$f(x)$趋近于$b$；
- 有一个无界序列$y_n$满足$y_n \to +\infty$，且对每个$x\in[0,+\infty)$，当$n\to\infty$时，$f(x-y_n) \to b$（逐点收敛）。
要证明的结论：$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{+\infty} {\vert f(x-y_n)-b \vert}^2 dx = 0$
证明步骤
1. 积分拆分策略
对于任意给定的小正数$\epsilon>0$，我们可以把积分拆成两部分：
$$\int_{0}^{+\infty} |f(x-y_n)-b|^2 dx = \int_{0}^{A} |f(x-y_n)-b|^2 dx + \int_{A}^{+\infty} |f(x-y_n)-b|^2 dx$$
其中$A$是一个我们可以自由选取的足够大的正数。接下来我们分别证明，当$n$足够大时，这两部分积分都能小于$\epsilon/2$，从而整体小于$\epsilon$，满足极限的定义。
2. 处理无穷区间部分$\int_{A}^{+\infty} |f(x-y_n)-b|^2 dx$
首先，根据$y_n \to +\infty$的性质，我们可以选取足够大的$n$，使得$y_n > A - X_1$（这里$X_1$是一个负数，对应题目中“当$x<X_1$时，$|f(x)-b|\le e^{kx}$”的那个阈值）。此时对于所有$x>A$，有$x-y_n > A - y_n < X_1$，也就是$x-y_n$落在了$f(x)$趋近于$b$的区间里。
根据题目条件，此时$|f(x-y_n)-b| \le e^{k(x-y_n)} = e^{kx} \cdot e^{-ky_n}$，所以平方后可得：
$$|f(x-y_n)-b|^2 \le e^{2kx} \cdot e^{-2ky_n}$$
代入积分得：
$$\int_{A}^{+\infty} |f(x-y_n)-b|^2 dx \le e^{-2ky_n} \cdot \int_{A}^{+\infty} e^{2kx} dx$$
计算右侧的积分：$\int_{A}^{+\infty} e^{2kx} dx = \frac{e^{2kA}}{2k}$，这是一个固定的常数。而因为$y_n \to +\infty$，$e^{-2ky_n}$会趋近于0，所以当$n$足够大时，这部分积分必然小于$\epsilon/2$。
3. 处理有限区间部分$\int_{0}^{A} |f(x-y_n)-b|^2 dx$
对于有限区间$[0,A]$，我们可以用勒贝格控制收敛定理来处理：
- 首先，题目给出对每个$x\in[0,A]$，当$n\to\infty$时，$f(x-y_n)\to b$，也就是被积函数$|f(x-y_n)-b|^2$逐点收敛到0；
- 其次，当$n$足够大时，$x-y_n < X_1$对所有$x\in[0,A]$成立（因为$y_n\to+\infty$），此时$|f(x-y_n)-b| \le e^{k(x-y_n)} \le e^{kX_1}$（因为$x-y_n \le A-y_n < X_1$，而$e{kz}$在$z<X_1$时是有界的，最大值为$e{kX_1}$）。这意味着被积函数有一个不依赖于$n$的可积上界$(e{kX_1})2$。
根据控制收敛定理，我们可以交换极限和积分的顺序：
$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{A} |f(x-y_n)-b|^2 dx = \int_{0}^{A} \lim_{n\to\infty}|f(x-y_n)-b|^2 dx = \int_{0}^{A} 0 dx = 0$$
所以当$n$足够大时，这部分积分也会小于$\epsilon/2$。
4. 合并结论
对于任意$\epsilon>0$，我们总能找到足够大的$N$，当$n>N$时，两部分积分都小于$\epsilon/2$，因此：
$$\int_{0}^{+\infty} |f(x-y_n)-b|^2 dx < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$$
这就证明了$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{+\infty} {\vert f(x-y_n)-b \vert}^2 dx = 0$。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者kaithkolesidou
