求Y=ln(∑Xᵢ²)的期望与方差，Xᵢ服从瑞利分布

首先得抓住一个核心转化：每个独立同分布的瑞利变量$X_i$，它的平方$S_i = X_i^2$服从指数分布。咱们来快速验证下：

对$S \geq 0$，$P(S \leq s) = P(X \leq \sqrt{s}) = \int_0^\sqrt{s} \frac{x}{\sigma^2}e{-x^2/(2\sigma2)}dx$，做变量替换$u=x^2/(2\sigma2)$，积分结果就是$1 - e^{-s/(2\sigma2)}$，这正是速率参数为$1/(2\sigma^{2)$（或者说尺度参数为$2\sigma}2$）的指数分布CDF。

接下来，$S = \sum_{i=1}^n S_i$是n个独立指数变量的和，自然服从Gamma分布，形状参数$k=n$，尺度参数$\theta=2\sigma^2$。它的PDF是：
$$
P(S|n,\sigma) = \frac{1}{\Gamma(n)\theta^n} S^{n-1} e^{-S/\theta}, \quad S>0
$$
有了这个基础，$Y = \ln S$的所有统计量就都能基于Gamma分布的性质推导出来了。

一、期望$\mathbb{E}[Y]$的解析表达式 #

Gamma变量的对数期望有现成的公式可用：如果$Z \sim \text{Gamma}(k, \theta)$，那么$\mathbb{E}[\ln Z] = \psi(k) + \ln \theta$，这里$\psi(\cdot)$是Digamma函数——也就是Gamma函数的对数导数，$\psi(z) = \frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)$。

把咱们的参数$k=n$、$\theta=2\sigma^2$代入，直接得到：
$$
\mathbb{E}[Y] = \psi(n) + \ln(2\sigma^2)
$$

如果n是正整数的话，Digamma函数还有更直观的表达式：

• 当n=1时，$\psi(1) = -\gamma$（$\gamma \approx 0.5772$是欧拉-Mascheroni常数）
• 当n≥2时，$\psi(n) = -\gamma + \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m}$，也就是$-\gamma + H_{n-1}$，其中$H_{n-1}$是第n-1个调和数。

所以整数n的情况下，期望也可以写成：
$$
\mathbb{E}[Y] = -\gamma + H_{n-1} + \ln(2\sigma^2)
$$

二、方差$\text{Var}[Y]$的解析表达式 #

同样，Gamma变量的对数方差只和形状参数有关，和尺度参数无关（因为对数变换后尺度的影响是加性常数，不会改变方差）。公式是：$\text{Var}[\ln Z] = \psi'(k)$，这里$\psi'(\cdot)$是Trigamma函数，也就是Digamma函数的导数。

代入$k=n$，直接得到：
$$
\text{Var}[Y] = \psi'(n)
$$

对于正整数n，Trigamma函数可以用黎曼Zeta函数表示：
$$
\psi'(n) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(m + n - 1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m^2}
$$
毕竟$\zeta(2) = \pi^2/6 \approx 1.6449$是个已知的常数，计算起来很方便。

三、概率密度$P(Y|n,\sigma)$的闭式解 #

咱们用变量替换来推导Y的PDF。令$Y = \ln S$，那么$S = e^Y$，求导得雅可比行列式$dS/dY = e^Y$。

把$S = e^Y$代入Gamma分布的PDF，再乘以雅可比行列式，化简后就能得到Y的PDF：
$$
P(Y|n,\sigma) = \frac{e^{{nY}}{\Gamma(n)(2\sigma}2)^n} e^{-eY/(2\sigma^2)}, \quad Y \in \mathbb{R}
$$

这个分布就是对数Gamma分布，完全是闭式的形式，只要知道Gamma函数的值就能计算任意Y点的密度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CBowman