关于$\mathfrak{so}(n)$伴随表示与向量表示反对称张量平方同构的疑问

我来一步步帮你拆解这个问题——其实核心就是找到两个表示之间的线性同构，并且这个同构还能兼容李代数的运算（也就是让伴随作用和反对称张量表示的作用对应起来）。咱们从基础概念开始理清楚：

1. $\mathfrak{so}(n)$和它的向量表示 #

首先，$\mathfrak{so}(n)$就是所有$n\times n$实反对称矩阵构成的李代数，李括号就是矩阵的交换子：[A,B] = AB - BA。

它的向量表示就是最自然的矩阵作用：给一个反对称矩阵$A$和$\mathbb{R}^n$里的向量$v$，作用就是Av——这个应该很好理解。

2. 向量表示的反对称张量平方$\Lambda^2\mathbb{R}n$ #

向量表示的反对称张量平方，简单说就是$\mathbb{R}^{n$中两个向量的「反对称乘积」张成的空间，记作$\Lambda}2\mathbb{R}^n$。你可以把它等价地看成所有$n\times n$反对称矩阵构成的空间——因为每个反对称张量$v\wedge w$都对应一个反对称矩阵$T$，其中$T_{ij} = v_i w_j - v_j w_i$，反过来每个反对称矩阵也能对应这样的张量。

这个空间的维数是$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$，刚好和$\mathfrak{so}(n)$的维数一模一样——这是两个表示可能同构的第一个重要信号。

李代数在$\Lambda^2\mathbb{R}n$上的作用是怎么定义的呢？对于$A\in\mathfrak{so}(n)$和$T\in\Lambda^2\mathbb{R}n$（把$T$当反对称矩阵看），作用就是：ρ_Λ²(A)T = AT - TA。如果用张量语言说，就是A·(v∧w) = Av∧w + v∧Aw，两种表述是完全等价的。

3. $\mathfrak{so}(n)$的伴随表示 #

伴随表示其实就是李代数自身的「李括号作用」：对于$A,B\in\mathfrak{so}(n)$，伴随作用ad(A)B = [A,B] = AB - BA——说白了，就是把$A$映射成「和$A$取交换子」这个线性算子，作用在$\mathfrak{so}(n)$本身的元素上。

现在我们要做的就是把$\mathfrak{so}(n)$和$\Lambda^2\mathbb{R}n$这两个空间用一个线性映射连起来，并且证明这个映射能让两个表示的作用对应上。

第一步：建立线性同构 #

其实这个映射非常自然：把每个反对称矩阵$A\in\mathfrak{so}(n)$，对应到$\Lambda^2\mathbb{R}n$里的一个反对称张量$\phi(A)$，这个张量满足：
$$\phi(A)(v,w) = \langle Av, w\rangle$$
这里$\langle\cdot,\cdot\rangle$是$\mathbb{R}^n$上的标准内积。

因为$A$是反对称的，$\langle Av,w\rangle = -\langle v, Aw\rangle$，这正好符合反对称张量的性质（$\phi(A)(v,w) = -\phi(A)(w,v)$），所以$\phi(A)$确实在$\Lambda^2\mathbb{R}n$里。反过来，随便给一个$\Lambda^2\mathbb{R}n$里的张量$T$，我们也能唯一找到一个反对称矩阵$A_T$，使得$\langle A_T v, w\rangle = T(v,w)$（因为内积是非退化的）。所以$\phi$是一个可逆的线性映射，也就是线性同构。

第二步：验证表示同态（核心！） #

现在要证明这个$\phi$能让两个表示的作用「对齐」——也就是对任意$A,B\in\mathfrak{so}(n)$，有：
$$\phi(\text{ad}(A)B) = \rho_{\Lambda^2}(A)\phi(B)$$

我们直接用矩阵的运算来验证：
左边：$\phi(\text{ad}(A)B)$对应的就是$\text{ad}(A)B = AB - BA$（因为$\phi$把反对称矩阵对应到自身对应的张量，等价于把矩阵映射成矩阵）；
右边：$\rho_{\Lambda^2}(A)\phi(B)$对应的就是$AB - BA$（根据$\Lambda^2$表示的作用定义）。

哦，是不是瞬间就清晰了？当我们把$\Lambda^2\mathbb{R}n$和反对称矩阵空间（也就是$\mathfrak{so}(n)$本身）等同起来的时候，伴随表示的作用和$\Lambda^2$表示的作用完全是一回事——都是交换子AB - BA！

$\mathfrak{so}(n)$的伴随表示和向量表示的反对称张量平方同构，本质是因为：

• 两者作为线性空间维数相同，存在自然的线性同构；
• 这个同构把伴随表示的「交换子作用」和反对称张量表示的「交换子作用」完全对应起来，满足表示同态的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者thegamer