证明函数序列{u - v(· - yₙ)}的L²范数趋于无穷大

首先，先明确所有已知条件，方便后续推导：

• 函数 $u, v: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$，且 $k>0$，$l_- \neq l_+$：
  • 当 $x \to +\infty$ 时，$|u(x)-l_+| \leq e^{-kx}$，$|v(x)-l_+| \leq e^{-kx}$
  • 当 $x \to -\infty$ 时，$|u(x)-l_-| \leq e^{kx}$，$|v(x)-l_-| \leq e^{kx}$
• 无界序列 $y_n \to +\infty$（$n \to \infty$），且对任意 $x \in \mathbb{R}$，$\lim_{n \to \infty} |u(x)-v(x-y_n)|^2 = |u(x)-l_-|^2$

我们的目标是证明 $\lim_{n \to \infty} |u - v(\cdot - y_n)|_{L^2(\mathbb{R})} = +\infty$

第一步：变量替换简化积分 #

$L^2$ 范数的平方是积分形式：
$$
|u - v(\cdot - y_n)|{L^2}2 = \int{-\infty}^{+\infty} |u(x)-v(x-y_n)|^2 dx
$$
做变量替换 $t = x - y_n$（即 $x = t + y_n$），积分上下限不变，于是积分转化为：
$$
|u - v(\cdot - y_n)|{L^2}2 = \int{-\infty}^{+\infty} |u(t + y_n) - v(t)|^2 dt
$$
这个替换的关键是把 $y_n$ 的增长转移到 $u$ 的自变量上，方便利用 $u$ 在 $+\infty$ 处的衰减特性。

第二步：拆分积分区间分析 #

我们把积分拆成两部分：$t \leq 0$ 和 $t > 0$，记为：
$$
I_n = I_n^- + I_n^+ = \int_{-\infty}^0 |u(t + y_n) - v(t)|^2 dt + \int_0^\infty |u(t + y_n) - v(t)|^2 dt
$$

分析 $I_n^-$（$t \leq 0$ 的部分）

当 $n \to \infty$ 时，$y_n \to +\infty$，所以对任意固定的 $t \leq 0$，$t + y_n \to +\infty$。根据 $u$ 的衰减条件，$u(t + y_n) \to l_+$，因此逐点有：
$$
\lim_{n \to \infty} |u(t + y_n) - v(t)|^2 = |l_+ - v(t)|^2
$$
注意到 $l_- \neq l_+$，且当 $t \to -\infty$ 时，$v(t) \to l_-$，所以 $|l_+ - v(t)| \to |l_+ - l_-| > 0$。这意味着当 $t$ 足够小时（负方向足够大），$|l_+ - v(t)|^2$ 是一个正的常数，因此积分 $\int_{-\infty}^0 |l_+ - v(t)|^2 dt$ 是发散到无穷大的（因为积分一个正的常数从 $-\infty$ 到0，结果必然无穷大）。

根据Fatou引理（非负函数列的积分下确界不小于下确界的积分），我们有：
$$
\liminf_{n \to \infty} I_n^- \geq \int_{-\infty}^0 \lim_{n \to \infty} |u(t + y_n) - v(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^0 |l_+ - v(t)|^2 dt = +\infty
$$

分析 $I_n^+$（$t > 0$ 的部分）

当 $t > 0$ 时，$t + y_n \to +\infty$，所以 $u(t + y_n) \to l_+$；同时 $t \to +\infty$ 时，$v(t) \to l_+$。根据衰减条件：
$$
|u(t + y_n) - v(t)| \leq |u(t + y_n)-l_+| + |v(t)-l_+| \leq e^{-k(t + y_n)} + e^{-kt} \leq 2e^{-kt}
$$
因此 $|u(t + y_n) - v(t)|^2 \leq 4e^{-2kt}$，而 $\int_0^\infty 4e^{-2kt} dt$ 是收敛的（计算得 $\frac{2}{k}$）。根据控制收敛定理，逐点极限为0的可积控制函数列，积分的极限等于极限的积分：
$$
\lim_{n \to \infty} I_n^+ = \int_0^\infty \lim_{n \to \infty} |u(t + y_n) - v(t)|^2 dt = \int_0^\infty 0 dt = 0
$$

第三步：合并结论 #

由上面的分析，$I_n^-$ 的下确界是无穷大，$I_n^+$ 趋于0，因此：
$$
\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} (I_n^- + I_n^+) = +\infty
$$
也就是 $|u - v(\cdot - y_n)|_{L^2} = \sqrt{I_n} \to +\infty$，得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kaithkolesidou