半阿贝尔范畴中交换图诱导虚线映射是否为正则满同态？含推出条件探讨
先明确问题中的交换图结构：在半阿贝尔范畴里，有如下交换图：
A ───α───→ A' │ │ f f' │ │ ▼ ▼ B ───β───→ B'
其中态射 $f, f', \alpha, \beta$ 均为正则满同态，我们关心两个问题：
- 由这个交换图诱导的虚线映射是否一定是正则满同态？
- 如果不是，当附加“右侧方块为推出”的条件时，命题是否成立？
一、无附加条件时，原命题不成立
答案是否定的，我们可以在群范畴 $\mathbf{Grp}$（典型的半阿贝尔范畴）中构造反例：
- 设 $A = S_3 \times S_3$（两个3元对称群的直积），$f: A \to B = S_3$ 是投影到第一个分量的满同态（正则满，群范畴中满同态就是正则满）；
- 设 $\alpha: A \to A' = S_3$ 是投影到第一个分量的满同态（正则满）；
- 设 $f': A' \to B' = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 是符号同态（将置换映射到其奇偶性，正则满）；
- 设 $\beta: B \to B'$ 同样是符号同态（正则满）。
验证交换性：$\beta \circ f(g,h) = \beta(g) = \text{sgn}(g)$，$f' \circ \alpha(g,h) = f'(g) = \text{sgn}(g)$，显然交换性成立。
现在，诱导的虚线映射是从 $A$ 到拉回 $B \times_{B'} A'$ 的态射 $\phi$，其中拉回 $B \times_{B'} A'$ 是所有满足 $\beta(b) = f'(a')$ 的 $(b, a') \in S_3 \times S_3$（即 $b$ 和 $a'$ 奇偶性相同）。诱导映射 $\phi(g_1,g_2) = (f(g_1,g_2), \alpha(g_1,g_2)) = (g_1, g_1)$。
显然，$\phi$ 的像只是拉回中所有形如 $(g,g)$ 的元素，而拉回中存在大量不在这个像里的元素（比如 $(e, (12))$，其中 $e$ 是单位元，$(12)$ 是奇置换，二者奇偶性相同，属于拉回，但无法表示为 $(g,g)$）。因此 $\phi$ 不是满同态，自然也不是正则满同态。
二、附加“右侧方块为推出”时，命题成立
当我们附加条件：上述交换图是推出方块（即 $B'$ 是 $B$ 和 $A'$ 沿着 $A$ 的余极限，也就是 $B' = B \amalg_A A'$）时，诱导的虚线映射一定是正则满同态，证明如下：
首先明确，半阿贝尔范畴有两个关键性质：
- 正则满同态在推出下保持（即若推出方块中有一个态射是正则满，则另一个对应的态射也是正则满）；
- 范畴中的每个满同态都是正则满同态（正规范畴的核心性质）。
我们要证明的诱导虚线映射是从 $A$ 到拉回 $B \times_{B'} A'$ 的态射 $\phi(a) = (f(a), \alpha(a))$：
- 证明 $\phi$ 是满同态：
任取拉回中的元素 $(b, a')$，即满足 $\beta(b) = f'(a')$。由于 $f$ 是正则满，存在 $a_1 \in A$ 使得 $f(a_1) = b$。此时 $\beta(f(a_1)) = f'(a')$，结合交换图的性质，$\beta(f(a_1)) = f'(\alpha(a_1))$，因此 $f'(\alpha(a_1)) = f'(a')$。
因为 $f'$ 是正则满，它是某个态射的余核，所以 $\ker f'$ 是正规子对象。而在推出方块中，$\ker f'$ 恰好是 $\alpha(\ker f)$（半阿贝尔范畴的推出核性质）。因此存在 $a_2 \in \ker f$（即 $f(a_2)=e$，$e$ 为单位元）使得 $\alpha(a_2) = \alpha(a_1)a'^{-1}$。
令 $a = a_2^{-1}a_1$，则 $f(a) = f(a_2^{-1})f(a_1) = e \cdot b = b$，且 $\alpha(a) = \alpha(a_2^{-1})\alpha(a_1) = a' \alpha(a_1)^{-1} \cdot \alpha(a_1) = a'$。因此 $\phi(a) = (b, a')$，即 $\phi$ 是满同态。 - 证明 $\phi$ 是正则满同态：
根据半阿贝尔范畴的性质，满同态都是正则满同态，因此 $\phi$ 是正则满同态。
综上，附加右侧方块为推出的条件后，诱导的虚线映射一定是正则满同态。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者I'm D.
