如何从温伯格教材的克莱因圆盘距离公式推导其度量分量？

嘿，我来一步步带你从温伯格给出的双曲距离公式推导出克莱因圆盘的度量分量。先明确我们的起点：

克莱因圆盘模型中，两点$x=(x_1,x_2)$和$X=(X_1,X_2)$的双曲距离满足：
$$\cosh \frac{d(x,X)}{a} = \frac{1 - x \cdot X}{\sqrt{1 - |x|^2} \sqrt{1 - |X|^2}}$$
其中$x \cdot X = x_1X_1 + x_2X_2$，$|x|^2 = x \cdot x$。

要推导度量分量，核心思路是：当两点无限接近时，$X = x + dx$，此时双曲距离$d(x,X)$就对应线元$ds$。我们通过泰勒展开将距离公式转化为线元的二次型，从而提取出度量分量$g_{ij}$（满足$ds^2 = g_{ij}dx^idxj$）。

步骤1：对双曲余弦做泰勒展开 #

当$ds$趋近于0时，双曲余弦的泰勒展开（保留到二阶小量）为：
$$\cosh \frac{ds}{a} \approx 1 + \frac{ds^2}{2a2}$$

步骤2：代入$X = x + dx$并展开右边的表达式 #

先简化分子和分母的符号：记$r^2 = |x|^2$，$s = x \cdot dx$，$t = |dx|^2$，则：

• 分子：$1 - x \cdot (x + dx) = (1 - r^2) - s$
• 分母：$\sqrt{(1 - r^2)(1 - |x+dx|^2)} = \sqrt{(1 - r^2)\left[(1 - r^2) - 2s - t\right]}$

提取$\sqrt{1 - r^2}$后，右边整体可改写为：
$$\frac{1 - \frac{s}{1 - r^2}}{\sqrt{1 - \frac{2s + t}{1 - r^2}}}$$

步骤3：对分母的根号项做泰勒展开 #

利用$(1 - \epsilon)^{-1/2} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2} + \frac{3\epsilon^2}{8}$（仅保留到二阶小量，高阶小量可忽略），这里$\epsilon = \frac{2s + t}{1 - r^2}$，代入后分母的倒数近似为：
$$1 + \frac{2s + t}{2(1 - r^2)} + \frac{3(2s + t)^2}{8(1 - r²⁾2}$$

步骤4：展开乘积并保留二阶小量 #

将分子的$(1 - \frac{s}{1 - r^{2})$与上述展开式相乘，忽略三阶及以上小量（比如$st$、$t}2$这类项）：

• 一阶项相互抵消：$\frac{2s + t}{2(1 - r^2)} - \frac{s}{1 - r^2} = \frac{t}{2(1 - r^2)}$
• 二阶项合并后：$\frac{3(4s^2)}{8(1 - r²⁾2} - \frac{2s^2}{2(1 - r²⁾2} = \frac{s^2}{2(1 - r²⁾2}$

最终右边的表达式近似为：
$$1 + \frac{t}{2(1 - r^2)} + \frac{s^2}{2(1 - r²⁾2}$$

步骤5：对比左右两边得到线元表达式 #

将左边的$\cosh \frac{ds}{a}$近似式与右边相等，两边减去1后乘以2：
$$\frac{ds^2}{a2} = \frac{t}{1 - r^2} + \frac{s^2}{(1 - r²⁾2}$$

把$t = dx_1^2 + dx_2^2$、$s = x_1dx_1 + x_2dx_2$、$r^2 = x_1^2 + x_2^2$代回，展开后整理成$dx_1$和$dx_2$的二次型：
$$
\begin{align*}
\frac{ds^2}{a2} &= \frac{dx_1^2 + dx_2^2}{1 - x_1^2 - x_2^2} + \frac{(x_1dx_1 + x_2dx_2)^2}{(1 - x_1^2 - x_2²⁾2} \
&= \frac{(1 - x_2^2)dx_12 + (1 - x_1^2)dx_22 + 2x_1x_2dx_1dx_2}{(1 - x_1^2 - x_2²⁾2}
\end{align*}
$$

步骤6：提取度量分量 #

对比$ds^2 = g_{ij}dx^idxj$，可以直接读出完整的度量分量：
$$
\begin{align*}
g_{11} &= a^2 \frac{1 - x_2^2}{(1 - x_1^2 - x_2²⁾2}, \
g_{22} &= a^2 \frac{1 - x_1^2}{(1 - x_1^2 - x_2²⁾2}, \
g_{12} &= g_{21} = a^2 \frac{x_1x_2}{(1 - x_1^2 - x_2²⁾2}.
\end{align*}
$$

这就和温伯格《引力与宇宙学》中给出的部分表达式完全匹配了！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rourke Sekelsky