求儒可夫斯基映射下上半平面Imz>0的像区域

嘿，我来帮你搞定这个儒可夫斯基映射的问题！你说逆映射太繁琐？完全理解，那咱们换个更直观的思路——边界对应原理，这在处理解析函数的区域映射问题时特别好用，不用硬算逆映射。

先明确咱们的目标：给定儒可夫斯基映射 $$w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$$，找出上半平面 $\text{Im}z>0$ 的像区域。

第一步：先分析边界的映射结果 #

上半平面的边界是实轴 $\text{Im}z=0$（注意$z≠0$，因为映射在$z=0$处无定义），咱们先看实轴上的点 $z=x$（$x\in\mathbb{R},x≠0$）映射到w平面的什么位置：
代入映射公式得：
$$w=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})$$
分两种情况讨论：

• 当 $x>0$ 时，根据均值不等式，$x+\frac{1}{x}\geq2$，当且仅当$x=1$时取等号。而且当$x$从$0^+→1→+∞$时，$x+\frac{1}{x}$ 从$+∞→2→+∞$，所以这部分的像就是实轴上的射线 $[2,+\infty)$。
• 当 $x<0$ 时，令 $x=-y$（$y>0$），代入得 $w=\frac{1}{2}(-y-\frac{1}{y})=-\frac{1}{2}(y+\frac{1}{y})$，同样 $y+\frac{1}{y}\geq2$，所以 $w\leq-2$。当$x$从$-∞→-1→0^-$时，$w$从$-∞→-2→-∞$，这部分的像就是实轴上的射线 $(-\infty,-2]$。

所以整个实轴的像就是实轴上的两个射线的并集：$(-\infty,-2] \cup [2,+\infty)$。

第二步：确定上半平面内部的像 #

根据边界对应原理，单连通区域的解析映射会把区域内部映射到边界像的某一侧（结合保角性）。咱们可以取上半平面内的几个测试点来验证：

• 取 $z=i$（上半平面内的单位圆上点），代入得 $w=\frac{1}{2}(i+\frac{1}{i})=\frac{1}{2}(i-i)=0$，这个点不在边界像的射线上，属于实轴上$(-2,2)$之间的点。
• 取 $z=2i$（上半平面内单位圆外的点），代入得 $w=\frac{1}{2}(2i+\frac{1}{2i})=\frac{1}{2}(2i-\frac{i}{2})=\frac{3i}{4}$，这个点在w平面的上半部分（$\text{Im}w>0$），也不在边界射线上。
• 取 $z=\frac{1}{2}i$（上半平面内单位圆内的点），代入得 $w=\frac{1}{2}(\frac{i}{2}+\frac{2}{i})=\frac{1}{2}(\frac{i}{2}-2i)=-\frac{3i}{4}$，这个点在w平面的下半部分（$\text{Im}w<0$），同样不在边界射线上。

再结合映射的保角性（除了$z=±1$这两个临界点，不影响整体区域的映射结果），可以得出：
上半平面 $\text{Im}z>0$ 在儒可夫斯基映射下的像，就是整个复平面去掉实轴上的射线 $(-\infty,-2]$ 和 $[2,+\infty)$，用集合表示就是：
$$\mathbb{C} \setminus \left( (-\infty,-2] \cup [2,+\infty) \right)$$

简单说就是：所有不在实轴上$\leq-2$或$\geq2$的复数，都是上半平面的像点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cdummie