使用非线性模型拟合CO₂观测数据时预测曲线呈直线而非预期正弦曲线的问题排查与咨询

我已经自己梳理出两个可能的问题根源，但还是想详细说明情况，看看是不是还有其他疏漏：

我在处理1959到2024年的CO₂观测数据（包含year和co2等字段），目标是用一个包含线性、二次和正弦分量的模型拟合数据，再用拟合出的参数预测训练集（1959-2004）和验证集（2005-2024）的CO₂值。但绘图时发现预测结果是直线，完全没出现预期的正弦波动，而观测数据是带有年度波动的曲线。

先说说我已经发现的两个问题：

• 之前做时间缩放时，错误地用了year字段，而不是包含小数年份的time字段
• 计算x_val时，应该减去训练集的起始年份，而不是验证集自己的起始年份

下面是我的完整代码，以及问题细节：

我的模型函数包含线性、二次和正弦项，本应生成带波动的曲线：

# Build model based on equation
def co2_model(x, a, b, A, phi, c):
  # Model containing linear, quadratic and sinusoidal component 
    return (a*x) + (b*(x**2)) + (A*np.sin((2*np.pi*x)+ phi)) + c 

x = (co2['time']).values - co2['time'].values[0]
y = co2['co2'].values

# Split data into training and validation periods 
co2_train = co2[co2['year'] <= 2004]
co2_val = co2[co2['year'] > 2004]

# Rescaling time periods and specifying dependent variable 
x_train = co2_train['year'].values - co2_train['year'].values[0]
y_train = co2_train['co2'].values

x_val = co2_val['year'].values - co2_val['year'].values[0]
y_val = co2_val['co2'].values

# Fit the co2 model to the training data
params_train, covar_train = curve_fit(co2_model, x_train, y_train)
a, b, A, phi, c = params_train  # Extract fitted parameters

#Calculate predicted values for the training and validation data
y_train_predict = co2_model(x_train, a, b, A, phi, c)
y_val_predict = co2_model(x_val, a, b, A, phi, c)

# Plot the original data with the predictions 
plt.figure(figsize=(15, 6))
plt.scatter(x, y, color='grey', label='Observed temperature', alpha=0.5)

# Plot the training period predictions
plt.plot(x_train, y_train_predict, label='Training Period', color='blue', linestyle='--')

# Plot the validation period predictions
plt.plot(x_val, y_val_predict, label='Validation Period', color='red', linestyle='--')

plt.xlabel('Year (CE)')
plt.ylabel('CO$_2$ (ppm)') 

# Show the plot
plt.show()

实际与预期效果： #

• 实际输出：预测的训练集和验证集曲线都是直线，完全没有正弦波动
• 预期效果：预测曲线应该和观测数据类似，带有年度正弦波动，呈现蓝红两段的带波动曲线（和观测数据的形态一致）

想请教大家，除了我已经发现的两个问题，是不是还有其他我没注意到的细节导致预测结果异常？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者carpet