已知两点距离后修正点A位置正态误差分布及误差影响问询

咱们先从精确距离为33米的场景说起：

首先明确前提：A的先验位置服从正态分布$A \sim \mathcal{N}(0, 1)$，B的先验位置是$B \sim \mathcal{N}(35, 1)$，而且二者独立。现在给定精确约束$|A - B| = 33$，我们要找的是A的条件分布$P(A \mid |A-B|=33)$。

• A和B的联合先验概率密度函数（pdf）是：

  f(A,B) = \frac{1}{2\pi} \exp\left(-\frac{A^2}{2}\right) \exp\left(-\frac{(B-35)^2}{2}\right)
  

• 因为$|A-B|=33$，所以B只能是$A+33$或者$A-33$。把这两种情况代入联合pdf，就能得到条件pdf的正比形式：

  f(A \mid |A-B|=33) \propto f(A, A+33) + f(A, A-33)
  

• 你仔细算一下就会发现，$B = A-33$对应的项几乎可以直接忽略：当A在它的先验均值0附近时，B会在-33左右，这和B的先验均值35差了快70个标准差，对应的指数项会小到几乎为0，对整体分布没什么影响。
• 所以主要贡献来自$B = A+33$的情况，化简后得到：

  f(A \mid |A-B|=33) \propto \exp\left(-\frac{(A-1)^2}{2 \times 0.5}\right)
  

  换句话说，A的条件分布近似是$\mathcal{N}(1, 0.5)$：均值从原来的0偏移到1，方差从1缩小到0.5——这是因为精确的距离约束给我们提供了额外信息，降低了A位置的不确定性。

接下来看距离存在误差的情况：

假设我们观测到的距离是$\hat{D} = 33 + \epsilon$，其中$\epsilon$是服从$\mathcal{N}(0, \sigma_d^2)$的测量误差（$\sigma_d$是误差的标准差）。这时候我们需要用带噪声的观测来更新先验分布。

• 对应的似然函数可以写成：

  L(A,B) \propto \exp\left(-\frac{(|A-B| - 33)^2}{2\sigma_d^2}\right)
  

• 联合后验分布是$f(A,B) \propto f(A)f(B)L(A,B)$，对B积分后就能得到A的边缘后验分布。同样，$B = A-33$的情况贡献依然可以忽略，我们只需要关注$B$接近$A+33$的区域。
• 通过变量替换和积分化简后，A的后验分布依然是正态分布$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，其中：
  • 均值：$\mu = \frac{2(1+\sigma_d^{2)}{2+\sigma_d}2}$
  • 方差：$\sigma^2 = \frac{1+\sigma_d^{2}{2+\sigma_d}2}$
• 这个结果完全符合直觉：
  • 当$\sigma_d$趋近于0（测量误差几乎为0），均值$\mu$趋近于1，方差$\sigma^2$趋近于0.5，和精确距离的情况完全一致；
  • 当$\sigma_d$趋近于无穷大（测量误差极大，约束几乎没用），均值$\mu$趋近于0，方差$\sigma^2$趋近于1，回到A的原始先验分布。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Khaled Sayed