如何消去无理指数？含无理指数的方程能否求解？

咱们在九年级/十年级都学过这类根式与指数方程：
$$\sqrt{x+2}=4$$
$$(x+2)^\frac{3}{4}=4$$
这类方程都可以通过乘方法来求解：

若 $\sqrt{x+2}=4$，则 $x+2=4^2$
若 $(x+2)^\frac{3}{4}=4$，则 $(x+2)³⁼⁴4$

对于第二个方程，我们还可以借助二项式展开等方式进一步展开运算。

最近我碰到了这么一个需要求解 $d$ 的方程：
$$\frac{a(ax^2+c-d)}{a\sqrt2}=\left(\frac{a^\sqrt2}{a}x\sqrt2+d\right)^\sqrt2$$

那这个方程到底能不能解呢？咱们一步步拆解分析：

第一步：简化方程两边的底数项 #

先把方程里所有底数为 $a$ 的项整理简化：

• 左边可以化简为：$\frac{a(ax^2+c-d)}{a\sqrt2} = a^{1 - \sqrt{2}} \cdot (ax^2 + c - d) = a^{2 - \sqrt{2}}x^2 + a^{1 - \sqrt{2}}(c - d)$
• 右边括号内的 $\frac{a^\sqrt2}{a}$ 可简化为 $a^{\sqrt{2} - 1}$，因此括号内变为 $a^{\sqrt{2} - 1}x^\sqrt2 + d$，整体再取 $\sqrt{2}$ 次方。

第二步：分析同类项系数 #

注意到右边展开后，$x$ 的最高次项为 $(a^{{\sqrt{2}-1}x}\sqrt2)^\sqrt2 = a^{{(\sqrt{2}-1)\times\sqrt2}x}{2} = a^{2 - \sqrt{2}}x^2$，这和左边的 $x^2$ 项系数完全一致，会直接抵消。

接下来看含 $x^\sqrt2$ 的项：右边通过广义二项式定理展开后，该项系数为 $\sqrt{2} \cdot a^{(\sqrt2 -1)(\sqrt2 -1)} \cdot d$。而左边没有 $x^\sqrt2$ 项，因此要让等式成立，这个系数必须为0。

如果我们默认指数函数的底数 $a>0$ 且 $a≠1$（这是指数运算的常规要求），那么 $a^{(\sqrt2 -1)(\sqrt2 -1)} \neq 0$，因此只能是 $d=0$。

第三步：验证常数项 #

当 $d=0$ 时，右边就简化为 $(a^{{\sqrt{2}-1}x}\sqrt2)^\sqrt2 = a^{2 - \sqrt{2}}x^2$，此时左边为 $a^{2 - \sqrt{2}}x^2 + a^{1 - \sqrt{2}}c$。要让等式成立，必须满足 $a^{1 - \sqrt{2}}c = 0$，而 $a>0$ 且 $a≠1$，所以只能是 $c=0$。

结论 #

如果是要找到让方程对任意 $x$ 都成立的 $d$，那么唯一解是 $d=0$（同时需要 $c=0$）；如果只是对特定的 $a,c,x$ 求解 $d$，也可以通过数值方法或者广义二项式展开后整理求解——总之这个方程是可解的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Charlie Mcvicker