无限维空间下$V^* \otimes V^*$与$(V \otimes V)^*$不同构的疑问
嘿，这个问题我太熟了！咱们从根源到例子再到Hopf代数的关联，一步步理清楚：
一、为什么无限维时那个单射不是满射？
先回忆有限维的情况：有限维向量空间$V$的对偶空间$V*$和$V$维数相同，所以$V* \otimes V^$的维数是$(\dim V)^2$，而$(V \otimes V)^$的维数也是$(\dim V)^2$——这时候单射必然是满射，自然同构。
但无限维时，情况直接反转：
- $V^* \otimes V*$里的元素都是**有限个可分解张量的和**：$\sum_{i=1}n v_i^* \otimes w_i^$，对应的线性泛函$\varphi$满足：存在$V$的有限维子空间$U$，只要$x \in \ker v_i^$对所有$i$，或者$y \in \ker w_i^*$对所有$i$，就有$\varphi(x \otimes y)=0$——说白了就是这种泛函是“有限型”的，只依赖于$V$中有限个线性泛函的信息。
- 而$(V \otimes V)^$是$V \otimes V$上所有线性泛函的集合，这里面存在大量不满足“有限型”的泛函，它们无法被有限个$v^ \otimes w^$的和表示，所以那个单射自然没法覆盖整个$(V \otimes V)^$，也就不是满射了。
二、具体的简单例子
咱们拿最直观的可数无限维空间来举例：设$V$是基域$\mathbb{F}$上以${e_n}{n=0}^\infty$为基的向量空间，那么$V \otimes V$的基就是${e_m \otimes e_n}{m,n \geq 0}$。
现在定义一个线性泛函$\varphi \in (V \otimes V)^*$：对每个基元素，令
$$\varphi(e_m \otimes e_n) = \begin{cases} 1, & m=n \ 0, & m \neq n \end{cases}$$
接下来咱们证明这个$\varphi$不在$V^ \otimes V^$的像里*：
假设存在$\varphi = \sum_{i=1}^k v_i^ \otimes w_i*$，其中$v_i, w_i^ \in V*$。对每个$v_i$，设它在基上的值为$v_i^(e_n) = a_{i,n}$；同理$w_i^*(e_n) = b_{i,n}$。
根据张量积泛函的定义，对任意$m,n$有：
$$\sum_{i=1}^k a_{i,m} b_{i,n} = \delta_{m,n}$$
现在取$k+1$个指标$0,1,...,k$，构造一个$(k+1) \times (k+1)$的矩阵$M$，其中$M_{p,q} = \sum_{i=1}^k a_{i,p} b_{i,q}$——按上面的式子，$M$就是单位矩阵，秩为$k+1$。但$M$可以写成$AB^T$，其中$A$是$k \times (k+1)$矩阵（第$i$行第$p$列是$a_{i,p}$），$B$是$k \times (k+1)$矩阵（第$i$行第$q$列是$b_{i,q}$）。而矩阵乘积的秩不可能超过因子的秩，也就是$M$的秩最多是$k$，这和单位矩阵秩为$k+1$矛盾！
所以这个$\varphi$绝对没法表示成有限个$v^* \otimes w*$的和，也就说明$V* \otimes V^$没法覆盖整个$(V \otimes V)^$，两者不同构。
三、和Hopf代数的关联
这个差异在Hopf代数里是个很关键的点：
- 有限维Hopf代数$H$的对偶$H^$也是Hopf代数，因为$(H \otimes H)^ \cong H^* \otimes H^*$，余乘法的对偶映射可以顺利定义。
- 但无限维Hopf代数就麻烦了，比如无限群的群代数$\mathbb{F}[G]$，它的对偶$\mathbb{F}[G]^$是$G$上的函数空间，而$(\mathbb{F}[G] \otimes \mathbb{F}[G])^ \cong \mathbb{F}[G \times G]$（$G \times G$上的函数空间），但$\mathbb{F}[G]^* \otimes \mathbb{F}[G]^*$只是$\mathbb{F}[G \times G]$中那些“有限乘积和”的函数（比如$f \otimes g(x,y)=f(x)g(y)$的有限和），像我们例子里的“对角函数”（$f(x,y)=1$当$x=y$，否则0）就不在里面。
这就导致无限维Hopf代数的对偶结构不能直接用代数对偶，往往需要引入拓扑，考虑连续线性泛函（在适当的线性拓扑下），这样才能让张量积的对偶和对偶的张量积同构，保证Hopf代数结构的相容性。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dac0
