公平掷骰子游戏中玩家A获胜概率及期望回合数求解

这是一个典型的马尔可夫链问题，我们可以通过定义状态、建立递归方程来解决。先明确游戏规则：

• 玩家A获胜：掷出连续两个偶数且第二个是4（即序列24、44、64）
• 玩家B获胜：掷出三个连续奇数

a. 玩家A的获胜概率 #

我们定义以下状态来跟踪当前游戏的进展：

• S：初始状态（未掷骰子）
• O1：最近一次掷出奇数（连续1个奇数）
• O2：最近两次掷出奇数（连续2个奇数，再掷奇数则B获胜）
• E1：最近一次掷出偶数（连续1个偶数，再掷4则A获胜）
• E2：最近两次掷出偶数且最后一个不是4（再掷4则A获胜）

设P(s)为从状态s出发，A最终获胜的概率，建立递归方程：

1. 初始状态S：第一次掷骰子有1/2概率到O1，1/2概率到E1：

   P(S) = (1/2)P(O1) + (1/2)P(E1)
   

2. 状态O1：掷奇数到O2（概率1/2），掷偶数到E1（概率1/2）：

   P(O1) = (1/2)P(O2) + (1/2)P(E1)
   

3. 状态O2：掷奇数则B获胜（A概率0，1/2），掷偶数到E1（1/2）：

   P(O2) = (1/2)*0 + (1/2)P(E1) = (1/2)P(E1)
   

4. 状态E1：掷4则A获胜（概率1，1/6），掷非4偶数到E2（1/3），掷奇数到O1（1/2）：

   P(E1) = (1/6)*1 + (1/3)P(E2) + (1/2)P(O1)
   

5. 状态E2：掷4则A获胜（1/6），掷非4偶数留E2（1/3），掷奇数到O1（1/2）：

   P(E2) = (1/6)*1 + (1/3)P(E2) + (1/2)P(O1)
   

解方程： #

• 从E1和E2的方程可得出P(E1)=P(E2)
• 将P(O2)=(1/2)P(E1)代入O1的方程，结合E1的方程，最终解得：
  • P(O1)=3/7，P(E1)=4/7，P(O2)=2/7
  • 代入初始状态方程：P(S)=(1/2)(3/7)+(1/2)(4/7)=1/2

结论：玩家A的获胜概率是$\boldsymbol{1/2}$。

b. 游戏的期望持续回合数 #

设E(s)为从状态s出发的期望回合数，终止状态（A/B获胜）的期望回合数为0，建立递归方程：

1. 初始状态S：

   E(S) = 1 + (1/2)E(O1) + (1/2)E(E1)
   

2. 状态O1：

   E(O1) = 1 + (1/2)E(O2) + (1/2)E(E1)
   

3. 状态O2：

   E(O2) = 1 + (1/2)*0 + (1/2)E(E1) = 1 + (1/2)E(E1)
   

4. 状态E1：

   E(E1) = 1 + (1/6)*0 + (1/3)E(E2) + (1/2)E(O1)
   

5. 状态E2：

   E(E2) = 1 + (1/6)*0 + (1/3)E(E2) + (1/2)E(O1)
   

解方程： #

• 同样可得E(E1)=E(E2)
• 代入后逐步求解：
  • E(O1)=6，E(E1)=6，E(O2)=4
  • 初始状态：E(S)=1 + (1/2)*6 + (1/2)*6=7

结论：游戏的期望持续回合数是$\boldsymbol{7}$。

c. 已知玩家A获胜时，游戏的期望持续回合数 #

我们用条件期望公式：$E[T | A赢] = \frac{E[T \cdot I(A赢)]}{P(A赢)}$，其中I(A赢)是A获胜的指示函数，N(s)=E[T \cdot I(A赢) | 从s出发]。

建立N(s)的递归方程：

1. 状态E1/E2：

   N_E = (1/6)*1 + (1/3)(P(E2)+N_E) + (1/2)(P(O1)+N(O1))
   

2. 状态O2：

   N(O2) = (1/2)(P(E1)+N_E)
   

3. 状态O1：

   N(O1) = (1/2)(P(O2)+N(O2)) + (1/2)(P(E1)+N_E)
   

4. 初始状态S：

   N(S) = (1/2)(P(O1)+N(O1)) + (1/2)(P(E1)+N_E)
   

解方程： #

• 代入已知的P(s)值，逐步解得：
  • N_E=144/49，N(O1)=136/49，N(S)=47/14
• 条件期望：$E[T | A赢] = \frac{47/14}{1/2} = 47/7 \approx 6.71$

结论：已知A获胜时，游戏的期望持续回合数是$\boldsymbol{47/7}$（约6.71回合）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Don Juan