向量空间子集Span(S+T)与Span(S)+Span(T)的包含关系求证

(a) $\text{Span}(S + T) \subseteq \text{Span}(S) + \text{Span}(T)$是否一定成立？ #

结论：一定成立

咱们从span的核心定义出发来证明：
任取任意向量 $v \in \text{Span}(S+T)$，根据span的定义，$v$ 可以表示成 $S+T$ 中有限个元素的线性组合，也就是存在标量 $a_1,a_2,...,a_k$，以及 $u_1,u_2,...,u_k \in S+T$，使得：
$$v = \sum_{i=1}^k a_i u_i$$
而每个 $u_i$ 都属于 $S+T$，所以对应存在 $s_i \in S$、$t_i \in T$，满足 $u_i = s_i + t_i$。把这个代入上式拆开：
$$v = \sum_{i=1}^k a_i(s_i + t_i) = \sum_{i=1}^k a_i s_i + \sum_{i=1}^k a_i t_i$$
这里 $\sum_{i=1}^k a_i s_i$ 是 $S$ 中元素的有限线性组合，显然属于 $\text{Span}(S)$；同理 $\sum_{i=1}^k a_i t_i$ 属于 $\text{Span}(T)$。所以 $v$ 是 $\text{Span}(S)$ 和 $\text{Span}(T)$ 中元素的和，也就是 $v \in \text{Span}(S) + \text{Span}(T)$。

因为 $v$ 是 $\text{Span}(S+T)$ 中任意取的元素，所以整个 $\text{Span}(S+T)$ 都包含在 $\text{Span}(S) + \text{Span}(T)$ 里，这个包含关系恒成立。

(b) $\text{Span}(S + T) \supseteq \text{Span}(S) + \text{Span}(T)$是否一定成立？ #

结论：不一定成立

咱们用一个具体的反例就能说明问题：
取实数域上的二维向量空间 $V = \mathbb{R}^2$，令 $S = {(1,0)}$，$T = {(0,1)}$。

• 先算 $S+T$：它是所有 $s+t$ 的集合，这里就是 ${(1,0)+(0,1)} = {(1,1)}$
• $\text{Span}(S+T)$ 是所有形如 $k(1,1)$ 的向量，也就是 $\mathbb{R}^2$ 中过原点的直线 $y=x$
• 再看 $\text{Span}(S)$：是所有 $a(1,0)$ 的集合（x轴）；$\text{Span}(T)$ 是所有 $b(0,1)$ 的集合（y轴），它们的和 $\text{Span}(S) + \text{Span}(T)$ 就是整个二维空间 $\mathbb{R}^2$

很明显，直线 $y=x$ 不可能包含整个二维空间，比如向量 $(1,0)$ 属于 $\text{Span}(S) + \text{Span}(T)$，但它不在 $\text{Span}(S+T)$ 里。所以这个反向的包含关系并不是总能成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathT