复随机变量双重求和的方差计算遇阻，求专业解法

没问题，我来一步步帮你推导这个复随机变量和的方差～

首先先明确几个关键前提，这会帮我们简化计算：

• 复随机变量的方差定义：对于复随机变量$Z$，$\text{Var}(Z) = \mathbb{E}\left[|Z - \mathbb{E}[Z]|^2\right]$。因为所有$X_m$都是零均值，所以$\mathbb{E}[S] = 0$，因此$\text{Var}(S) = \mathbb{E}\left[|S|^2\right]$。
• 已知$X_m$是独立复随机变量，实部虚部独立零均值且方差均为$\sigma_X^{2$，所以$\mathbb{E}\left[|X_m|}2\right] = \text{Var}(X_m) = 2\sigma_X^2$；同时，当$m \neq m'$时，$\mathbb{E}\left[X_m X_{m'}^\right] = \mathbb{E}[X_m]\mathbb{E}[X_{m'}^] = 0$（独立性+零均值）。

步骤1：展开$|S|^2$ #

$S$是双重求和，它的模平方等于自身乘以共轭：
$$
|S|^2 = S \cdot S^* = \left( \sum_{k=1}^N \sum_{m=1}^M a_{k,m} X_m e^{-j\pi(m-k)} \right) \cdot \left( \sum_{k'=1}^N \sum_{m'=1}^M a_{k',m'}^* X_{m'}^* e^{j\pi(m'-k')} \right)
$$
展开乘积后得到四重求和：
$$
|S|^2 = \sum_{k=1}^N \sum_{m=1}^M \sum_{k'=1}^N \sum_{m'=1}^M a_{k,m} a_{k',m'}^* e^{-j\pi(m-k)} e^{j\pi(m'-k')} X_m X_{m'}^*
$$

步骤2：对$|S|^2$取期望 #

利用期望的线性性，把期望带入求和式中：
$$
\mathbb{E}\left[|S|^2\right] = \sum_{k=1}^N \sum_{m=1}^M \sum_{k'=1}^N \sum_{m'=1}^M a_{k,m} a_{k',m'}^* e^{-j\pi\left[(m-k)-(m'-k')\right]} \mathbb{E}\left[X_m X_{m'}^*\right]
$$

步骤3：利用$X_m$的独立性简化求和 #

因为当$m \neq m'$时，$\mathbb{E}\left[X_m X_{m'}^\right] = 0$，所以只有$m = m'$的项会保留。将$m'$替换为$m$，同时代入$\mathbb{E}\left[|X_m|^2\right] = 2\sigma_X^2$：
$$
\mathbb{E}\left[|S|^2\right] = 2\sigma_X^2 \sum_{m=1}^M \sum_{k=1}^N \sum_{k'=1}^N a_{k,m} a_{k',m}^ e^{-j\pi\left[(m-k)-(m-k')\right]}
$$
化简指数部分：$(m-k)-(m-k') = k' - k$，所以指数项变为$e^{-j\pi(k'-k)} = e^{j\pi(k - k')}$，式子可以进一步整理为更简洁的模平方形式：
$$
\mathbb{E}\left[|S|^2\right] = 2\sigma_X^2 \sum_{m=1}^M \left| \sum_{k=1}^N a_{k,m} e^{-j\pi(m - k)} \right|^2
$$
这里用到了复数模平方的性质：$\sum_{k}\sum_{k'} z_k z_{k'}^* e^{j\pi(k - k')} = \left| \sum_{k} z_k e^{j\pi k} \right|^2$，而$e{-j\pi(m - k)} = e^{-j\pi m} e^{j\pi k}$，由于$|e^{-j\pi m}| = 1$，所以$\left| \sum_{k} a_{k,m} e^{-j\pi(m - k)} \right|^2 = \left| \sum_{k} a_{k,m} e^{j\pi k} \right|^2$，两种写法等价，你可以根据习惯选择。

最终结果 #

结合$\text{Var}(S) = \mathbb{E}\left[|S|^2\right]$，得到：
$$
\text{Var}(S) = 2\sigma_X^2 \sum_{m=1}^M \left| \sum_{k=1}^N a_{k,m} e^{-j\pi(m - k)} \right|^2
$$

如果需要展开成更基础的形式（不使用模平方），也可以写成：
$$
\text{Var}(S) = 2\sigma_X^2 \sum_{m=1}^M \left( \sum_{k=1}^N |a_{k,m}|^2 + \sum_{\substack{k,k'=1 \ k \neq k'}}^N a_{k,m} a_{k',m}^* e^{j\pi(k - k')} \right)
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Steven Huynh