利用CW复形胞腔结构证明Sⁿ*Sᵐ同胚于Sⁿ⁺ᵐ⁺¹
我最近一直在琢磨怎么用CW复形的胞腔结构来证明联集$S^n * Sm$和$S{n+m+1}$同胚——虽说我知道还有其他证明路子，但就是想啃下胞腔结构这个方向的证明。下面我把自己梳理的思路和验证过程放出来：
1. 先理清楚$S^n * S^m$的CW胞腔分解
按照Hatcher书里的内容，$S^n * S^m$可以看作一个CW复形，具体的胞腔构成是这样的：
- $Sn$和$Sm$本身就是它的子复形，各自的标准胞腔结构是：
- $Sn$：1个0维胞腔$e0_n$ + 1个n维胞腔$e^n$
- $Sm$：1个0维胞腔$e0_m$ + 1个m维胞腔$e^m$
- 剩下的胞腔全部来自$S^n \times S^m \times (0,1)$这个开集。这里要用到乘积空间的自然胞腔分解规则：如果$X$有胞腔${ep}$，$Y$有胞腔${eq}$，那$X \times Y$的胞腔就是所有$e^p \times e^q$，维度是$p+q$。
把$(0,1)$看作1维开胞腔的话，$S^n \times S^m \times (0,1)$的胞腔就有这四个：
- $e^0_n \times e^0_m \times (0,1)$：维度$0+0+1=1$
- $e^0_n \times e^m \times (0,1)$：维度$0+m+1=m+1$
- $e^n \times e^0_m \times (0,1)$：维度$n+0+1=n+1$
- $e^n \times e^m \times (0,1)$：维度$n+m+1$
把子复形的胞腔和这部分合起来，$S^n * S^m$的完整胞腔列表就是：
- 0维：$e0_n$、$e0_m$（共2个）
- 1维：$e^0_n \times e^0_m \times (0,1)$（共1个）
- n维：$e^n$（共1个）
- m维：$e^m$（共1个）
- n+1维：$e^n \times e^0_m \times (0,1)$（共1个）
- m+1维：$e^0_n \times e^m \times (0,1)$（共1个）
- n+m+1维：$e^n \times e^m \times (0,1)$（共1个）
这里要提一句，联集的定义里$S^n \times {y} \times {0}$就是$S^n$，${x} \times S^m \times {1}$就是$S^m$，所以这些边界的粘合已经被包含在子复形里了，所有开胞腔都是互不重叠的，完全符合CW复形的胞腔要求。
2. 再看$S^{n+m+1}$的CW胞腔分解（适配联集的结构）
球面$S^k$的标准CW结构特别简单：1个0维胞腔 + 1个k维胞腔，把k维胞腔的边界粘到0维胞腔上就行。但为了和联集的胞腔结构对应上，我们可以给$S^{n+m+1}$构造一个更细化的CW分解：
其实我们可以把$S{n+m+1}$拆成和$Sn * S^m$完全对应的胞腔：
- 0维：2个胞腔（对应联集里的两个0维胞腔，用1维胞腔连接起来，保证连通性）
- 1维：1个胞腔（连接两个0维胞腔）
- n维：1个胞腔
- m维：1个胞腔
- n+1维：1个胞腔
- m+1维：1个胞腔
- n+m+1维：1个胞腔
而且关键是这些胞腔的粘合映射是完全匹配的：联集里n+m+1维胞腔的边界，是由n维、m维、n+1维、m+1维胞腔的边界粘合而成，这和$S^{n+m+1}$高维胞腔粘合到低维骨架的方式是同伦等价的。
3. 最后验证同胚性
根据CW复形的相关结论：如果两个CW复形拥有完全相同的胞腔维度集合，每个维度的胞腔数量一致，并且对应的粘合映射可以诱导出同胚，那么这两个CW复形就是同胚的。
放到我们的问题里，$S^n * Sm$和$S{n+m+1}$的CW胞腔结构完全匹配——我们可以构造一个胞腔映射，把$S^n * Sm$的每个胞腔一一对应到$S{n+m+1}$的对应胞腔上，这个映射是连续的双射，自然就是同胚。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者inquisitor
