计算ℝⁿ\{0}上特定n-1形式ω的dω，求n-1形式讲解
嘿，我来帮你把这个问题拆解清楚！先从你熟悉的1-形式、2-形式入手，把(n-1)-形式在这个问题里的运作逻辑讲透，再一步步算外微分dω～
你已经熟悉1-形式和2-形式，那(n-1)-形式其实就是它们的“高阶版本”，核心逻辑是相通的：
- 回忆下：在ℝ³里，1-形式是
a dx + b dy + c dz，每个项是函数×单个微分；2-形式是a dy∧dz + b dz∧dx + c dx∧dy，每个项是函数×两个不同微分的外积，而且外积满足反对称性（比如dx∧dy = -dy∧dx）。 - 那在ℝⁿ里，(n-1)-形式的每个项就是函数×(n-1)个不同微分的外积。题目里的ω就是标准的(n-1)-形式：它的第i项是
(-1)^(i-1) f_i乘以「除了dxᵢ之外的所有微分的外积」——也就是dx₁∧...∧dxᵢ₋₁∧dxᵢ₊₁∧...∧dxₙ。 - 为啥要加
(-1)^(i-1)？这是为了保持定向一致性：当你把dxᵢ插回这个外积时，dxᵢ ∧ (dx₁∧...∧dxᵢ₋₁∧dxᵢ₊₁∧...∧dxₙ)要等于(-1)^(i-1) dx₁∧dx₂∧...∧dxₙ（因为把dxᵢ从第i位移到第一位，需要交换(i-1)次，每次交换外积变号）。这个符号在求外微分的时候会起到关键作用。 - 另外，ω的每个系数
f_i(x) = x_i/|x|^m都是关于x₁到xₙ的函数，这和1-形式里的系数函数是一个道理，只是现在每个系数对应「缺了dxᵢ」的(n-1)次外积项。
外微分的规则和你熟悉的低阶形式完全统一，咱们一步步来：
线性展开：外微分满足线性性，所以先对ω的每个项单独求外微分再相加：
$$dω = \sum_{i=1}^n d\left[ (-1)^{i-1} f_i \cdot dx_1∧...∧dx_{i-1}∧dx_{i+1}∧...∧dx_n \right]$$
把常数(-1)^(i-1)提出来，得到：
$$dω = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \cdot d(f_i) ∧ dx_1∧...∧dx_{i-1}∧dx_{i+1}∧...∧dx_n$$计算d(f_i)：先求f_i的偏导数，分两种情况：
- 当j=i时：
$$\frac{\partial f_i}{\partial x_i} = \frac{|x|^m - x_i \cdot m |x|^{m-2} x_i}{|x|^{2m}} = \frac{|x|^2 - m x_i2}{|x|{m+2}}$$ - 当j≠i时：
$$\frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \frac{-m x_i x_j}{|x|^{m+2}}$$
所以f_i的外微分是：
$$d(f_i) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j$$
- 当j=i时：
代入并化简：把d(f_i)代入dω的表达式，交换求和顺序：
$$dω = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j ∧ dx_1∧...∧dx_{i-1}∧dx_{i+1}∧...∧dx_n$$
这里重点分析内层求和：- 如果j≠i：dx_j会和外积里的dx_j重复，根据外积的反对称性，重复的微分外积为0，所以这部分项全部消失！
- 如果j=i：dx_j=dx_i，此时外积
dx_i ∧ dx_1∧...∧dx_{i-1}∧dx_{i+1}∧...∧dx_n等于(-1)^(i-1) dx₁∧dx₂∧...∧dxₙ（之前说的定向规则）。
最终化简：只剩下j=i的项，代入后：
$$dω = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} \cdot \frac{|x|^2 - m x_i2}{|x|{m+2}} \cdot (-1)^{i-1} dx_1∧...∧dx_n$$
注意(-1)^(i-1) × (-1)^(i-1) = 1，再计算求和部分：
$$\sum_{i=1}^n (|x|^2 - m x_i^2) = n|x|^2 - m|x|^2 = (n - m)|x|^2$$
所以最终结果：
$$dω = (n - m) \frac{1}{|x|^m} dx_1∧dx_2∧...∧dx_n$$
内容的提问来源于stack exchange，提问作者WannaBeRealAnalysist
