Hausdorff拓扑群中H×Z到G的乘积映射是否为开映射及商群判定？

咱们来逐个拆解这两个拓扑群的问题：

答案是否定的，存在反例可以说明这个映射不一定是开映射。

举个具体的例子：取拓扑群 ( G = \mathbb{R}^2 )（赋予通常的加法拓扑结构），令 ( H = {(a, 0) \mid a \in \mathbb{R}} )（x轴，显然是闭子群），( Z = {(b, b) \mid b \in \mathbb{R}} )（直线y=x，也是闭子群）。

显然H和Z生成G——因为任何平面向量都可以表示为x轴向量与y=x向量的线性组合，也就是加法群里的和。现在看乘积映射 ( f: H \times Z \to G )，定义为 ( f((a,0), (b,b)) = (a+b, b) )。

取H×Z中的开集 ( U = (0,1) \times (0,1) )（这里的开集是子空间拓扑下的开区间乘积），映射后的集合是 ( f(U) = {(a+b, b) \mid 0 < a < 1, 0 < b < 1} )。我们可以验证这个集合在 ( \mathbb{R}^2 ) 中不是开集：比如点 ( (0.5, 0.5) \in f(U) )，它的任意小邻域里都会包含像 ( (0.4, 0.6) ) 这样的点，而这个点无法写成 ( (a+b, b) )（因为若b=0.6，则a=0.4-0.6=-0.2，不在(0,1)范围内），说明这个邻域不完全包含在f(U)中，因此f(U)不是开集，也就证明了f不是开映射。

答案是肯定的，这个乘积映射一定是开映射，且G可以视为 ( H \times Z ) 的商群。

为什么是开映射？ #

首先，拓扑群的乘法运算本身是开映射，即对于G中的任意开集A、B，AB也是开集。对于乘积映射 ( f: H \times Z \to G )，任取H中的开集U和Z中的开集V，我们需要证明 ( f(U \times V) = UV ) 是G中的开集：

• 因为H是G的闭子群，U作为H的开集，可表示为 ( U = H \cap U' )，其中U'是G中的开集；
• Z是G的中心，因此UV=VU，且 ( UV = (H \cap U')V = U'V \cap HV )；
• 又因为HZ=G，所以HV=HZ=G，因此 ( UV = U'V \cap G = U'V )，而U'V是G中两个开集的乘积，必然是开集。

由此可知，f把H×Z中的任意开集映射为G中的开集，所以f是开映射。

为什么G是H×Z的商群？ #

考虑映射f的纤维：对于G中的元素g=hz，若存在另一个表示 ( g = h'z' )，则 ( h'^{-1}h = z'z^{-1} )。左边属于H，右边属于中心Z，因此这个元素必然在 ( K = H \cap Z ) 中，记为k。即 ( h' = hk )，( z' = k^{-1}z )。

这说明f的纤维恰好是子群 ( \tilde{K} = {(k, k^{-1}) \mid k \in K} ) 在H×Z中的陪集。( \tilde{K} ) 是H×Z的闭子群（因为K是H∩Z，H和Z都是闭子群，Hausdorff拓扑群中闭子群的交集也是闭子群，且映射 ( k \mapsto (k, k^{-1}) ) 是连续单射，因此 ( \tilde{K} ) 是闭的）。

此时，f诱导了一个同胚映射 ( H \times Z / \tilde{K} \cong G )，所以G可以视为 ( H \times Z ) 关于 ( \tilde{K} ) 的商群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D_S