求助证明dim Spec A = dim Spec A_𝔭 + dim Spec A/𝔭，能否用诺特正规化定理？

当然可以用诺特正规化定理来搞定这个证明！这其实是Krull维数理论里的核心公式之一，我们可以一步步拆解，结合诺特正规化的性质来推导：

题目里A是无限域k上的有限生成整k-代数，根据诺特正规化定理，存在一组k-代数无关的元素 ( x_1, x_2, \dots, x_n \in A )，使得A是多项式环 ( k[x_1, \dots, x_n] ) 的整扩张。此时，( \dim \text{Spec } A = n )——因为整扩张会保持Krull维数，而多项式环 ( k[x_1, \dots, x_n] ) 的维数就是n，这一步先把A的维度和多项式环联系起来了。

商环 ( A/\mathfrak{p} ) 同样是无限域k上的有限生成整k-代数（毕竟A是整环，素理想 ( \mathfrak{p} ) 模掉后还是整环，有限生成性也继承自A）。对 ( A/\mathfrak{p} ) 再用一次诺特正规化，能找到元素 ( y_1, \dots, y_m \in A )，它们在 ( A/\mathfrak{p} ) 里的像 ( \overline{y_1}, \dots, \overline{y_m} ) 是k-代数无关的，而且 ( A/\mathfrak{p} ) 是 ( k[\overline{y_1}, \dots, \overline{y_m}] ) 的整扩张。所以 ( \dim \text{Spec } A/\mathfrak{p} = m )，这就把商环的维度也用多项式环的形式表示出来了。

记 ( \mathfrak{q} = \mathfrak{p} \cap k[x_1, \dots, x_n] )，这是多项式环里的素理想。因为A是 ( k[x_1, \dots, x_n] ) 的整扩张，再加上多项式环是正规环，根据整扩张的高度不变性（素理想的高度等于它在基环中收缩的高度），我们有：
[ \dim \text{Spec } A_{\mathfrak{p}} = \text{ht}(\mathfrak{p}) = \text{ht}(\mathfrak{q}) ]
这里要注意，( \dim \text{Spec } A_{\mathfrak{p}} ) 其实就是局部环 ( A_{\mathfrak{p}} ) 的Krull维数，也就是素理想 ( \mathfrak{p} ) 的高度 ( \text{ht}(\mathfrak{p}) )。

而在多项式环里，有个非常基本的维数公式：对任意素理想 ( \mathfrak{q} )，素理想的高度加上商环的维度等于整个多项式环的维度，也就是：
[ \text{ht}(\mathfrak{q}) + \dim \text{Spec } k[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{q} = n ]
这是因为多项式环是Cohen-Macaulay环，天然满足这个维数公式。

接下来，( A/\mathfrak{p} ) 是 ( k[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{q} ) 的整扩张（毕竟A是多项式环的整扩张，模掉对应的素理想后整扩张的性质不会丢），而整扩张的Krull维数是相同的，所以：
[ \dim \text{Spec } k[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{q} = \dim \text{Spec } A/\mathfrak{p} = m ]

把这个代入多项式环的维数公式，就能得到：
[ \text{ht}(\mathfrak{q}) = n - m ]
也就是：
[ \dim \text{Spec } A_{\mathfrak{p}} = n - m ]

我们已经知道：

• ( \dim \text{Spec } A = n )
• ( \dim \text{Spec } A/\mathfrak{p} = m )
• ( \dim \text{Spec } A_{\mathfrak{p}} = n - m )

把后两个加起来正好等于第一个，也就是：
[ \dim \text{Spec } A = \dim \text{Spec } A_{\mathfrak{p}} + \dim \text{Spec } A/\mathfrak{p} ]

这样就完成了整个证明～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drew Brady