函数逐点极限非L²可积的疑问及光滑函数积分发散证明问询

问题1：若函数的逐点极限不是L²可积的，那么该函数本身的可积性情况如何？ #

首先明确：这里的“函数的逐点极限”应该是指函数列的逐点极限函数——单个函数谈“逐点极限”表述不准确，通常是一列函数逐点收敛到某个极限函数。

结论是：极限函数的L²不可积，和原函数列中每个函数的L²可积性没有必然关联，我用两种具体情况举例说明：

• 情况1：原函数列中的每个函数都是L²可积，但极限函数不是
  构造这样的例子：定义函数列$f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$如下：
  $$
  f_n(x) = \chi_{[n, n+1]}(x) + \sqrt{n} \cdot \chi_{[0, 1/n]}(x)
  $$
  其中$\chi_I(x)$是区间$I$的指示函数（在$I$内取1，否则取0）。
  计算每个$f_n$的L²范数平方：
  $$
  \int_{\mathbb{R}} |f_n(x)|^2 dx = \int_n^{n+1} 1^2 dx + \int_0^{1/n} (\sqrt{n})^2 dx = 1 + n \cdot \frac{1}{n} = 2
  $$
  显然是有限值，所以每个$f_n$都是L²可积的。
  而逐点极限函数$f(x)$：当$x \geq 1$时，对任意足够大的$n \leq x$，$f_n(x)=1$，所以$f(x)=1$；当$x \in [0,1)$时，当$n > 1/x$时，$f_n(x)=0$，所以$f(x)=0$。因此$f(x)=\chi_{[1,+\infty)}(x)$，其L²积分$\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 dx = \int_1^{+\infty} 1 dx = \infty$，是L²不可积的。

• 情况2：原函数列中的每个函数也不是L²可积，极限函数同样不可积
  比如定义$f_n(x) = x \cdot \chi_{[0,n]}(x)$，每个$f_n$的L²积分是$\int_0^n x^2 dx = \frac{n^3}{3}$，当$n \to \infty$时趋向于无穷，所以每个$f_n$都不是L²可积的。而逐点极限函数$f(x)=x$，显然$\int_0^{+\infty} x^2 dx = \infty$，也是L²不可积的。

简单来说：极限函数的可积性不能直接推断原函数的可积性，两者没有必然的推导关系。

问题2：证明$\int_{0}^{+\infty} {|f(x)-l_{-}|}^2 dx=\infty$ #

你已经抓住了最关键的观察点：当$x \to +\infty$时，$|f(x)-l_-|^2 \to |l_+ - l_-|^2 = C > 0$，基于这个点很容易完成证明，步骤如下：

根据极限的定义，对于$\varepsilon = \frac{C}{2} > 0$，存在一个足够大的$M > 0$，当$x > M$时，有：
$$
\left| |f(x)-l_-|^2 - C \right| < \frac{C}{2}
$$
把这个不等式展开，就能得到下界：
$$
|f(x)-l_-|^2 > C - \frac{C}{2} = \frac{C}{2}
$$

现在把积分拆成两部分：
$$
\int_0^{+\infty} |f(x)-l_-|^2 dx = \int_0^M |f(x)-l_-|^2 dx + \int_M^{+\infty} |f(x)-l_-|^2 dx
$$

第一部分$\int_0^M |f(x)-l_-|^2 dx$是有限的：因为$f$是光滑函数，在闭区间$[0,M]$上必然连续，所以$|f(x)-l_-|^2$在$[0,M]$上有界，积分结果肯定是有限值。

第二部分$\int_M^{+\infty} |f(x)-l_-|^2 dx$的下界是$\int_M^{+\infty} \frac{C}{2} dx = \frac{C}{2} \cdot (+\infty - M) = \infty$，所以这部分积分是无穷大。

两部分相加，整个积分就是无穷大，也就是$\int_{0}^{+\infty} {|f(x)-l_{-}|}^2 dx=\infty$，得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kaithkolesidou