梯形法则求定积分近似值：凹凸性偏差的非图形化证明咨询

当然有完全严谨的证明方法！不用画图，咱们可以直接从凸函数/凹函数的定义或者泰勒展开出发推导结论，下面分两种情况详细说明：

一、先明确基本概念 #

首先回顾两个核心定义：

• 梯形法则对区间$[a,b]$的近似值：将区间分成$n$个等长小区间$[x_i, x_{i+1}]$（每个区间长度$h=\frac{b-a}{n}$），近似值为所有梯形面积之和：
  $$T = \frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}[f(x_i) + f(x_{i+1})]$$
• 凹向上（凸函数）：对任意$x,y\in[a,b]$和$t\in[0,1]$，满足$f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$；凹向下（凹函数）则是反向不等式：$f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$。

二、凸函数（凹向上）：梯形近似值 ≥ 实际积分值 #

我们先看单个小区间$[c,d]$（长度$h=d-c$）的情况，再推广到整个区间：

对于区间内任意一点$x$，可以表示为$x = sc + (1-s)d$，其中$s\in[0,1]$（当$s=0$时$x=d$，$s=1$时$x=c$）。

根据凸函数的定义：
$$f(x) = f(sc + (1-s)d) \leq sf(c) + (1-s)f(d)$$

现在对两边在$[c,d]$上积分（令$x=sc+(1-s)d$，则$dx=-hds$，积分上下限从$s=1$到$s=0$，等价于从$0$到$1$）：
$$\int_c^d f(x)dx = h\int_0^1 f(sc+(1-s)d)ds \leq h\int_0^1 [sf(c)+(1-s)f(d)]ds$$

计算右边的积分：
$$\int_0^1 sf(c)ds = f(c)\cdot\frac{1}{2}, \quad \int_0^1 (1-s)f(d)ds = f(d)\cdot\frac{1}{2}$$

所以右边结果为：
$$h\left(\frac{f(c)}{2} + \frac{f(d)}{2}\right) = \frac{h}{2}[f(c)+f(d)]$$

这正好是单个小区间的梯形近似值。也就是说，单个区间的实际积分值 ≤ 梯形近似值，把所有小区间的结果加起来，就能得到整个区间的结论：
$$\int_a^b f(x)dx \leq T$$

三、凹函数（凹向下）：梯形近似值 ≤ 实际积分值 #

这个情况的推导和上面完全对称：

根据凹函数的定义，对任意$x=sc+(1-s)d$，有：
$$f(x) = f(sc+(1-s)d) \geq sf(c) + (1-s)f(d)$$

同样对两边积分：
$$\int_c^d f(x)dx = h\int_0^1 f(sc+(1-s)d)ds \geq h\int_0^1 [sf(c)+(1-s)f(d)]ds = \frac{h}{2}[f(c)+f(d)]$$

单个区间的实际积分值 ≥ 梯形近似值，累加后得到整个区间的结论：
$$\int_a^b f(x)dx \geq T$$

补充：用泰勒展开的误差分析 #

如果函数$f$二阶可导，还可以用泰勒展开直接计算误差：

对单个区间$[c,d]$，中点$m=\frac{c+d}{2}$，将$f(x)$在$m$处泰勒展开到二阶：
$$f(x) = f(m) + f'(m)(x-m) + \frac{1}{2}f''(\xi)(x-m)^2 \quad (\xi \text{在}x\text{和}m\text{之间})$$

积分后可得实际积分$I = hf(m) + \frac{1}{2}\int_c^d f''(\xi)(x-m)^2dx$，而梯形近似值$T = hf(m) + \frac{h^3}{16}[f''(\xi_1)+f''(\xi_2)]$（$\xi_1,\xi_2$分别在$[c,m]$和$[m,d]$）。

当$f''(x)\geq0$（凹向上）时，积分项为正，结合二阶导数的连续性，可推出$T-I\geq0$；反之$f''(x)\leq0$时，$T-I\leq0$，结论和凸函数方法一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者OptatootatpO