关于随机游走$P(\limsup S_n=\infty)$和$P(\liminf S_n=-\infty)$的计算问询

假设我们有一列独立同分布的非退化随机变量$X_i$，满足期望$EX_i=0$，定义随机游走序列：
$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$

先从大家熟悉的简单随机游走入手：当$P(X_i = -1) = 1/2 = P(X_i = 1)$时，已经有成熟的结论：
$$P(\limsup S_n = \infty) = 1 = P(\liminf S_n = -\infty)$$
这个结论的证明思路很直观——先证对任意正整数$M\in\mathbb{N}$，这个随机游走几乎必然会无穷多次出现连续$M$步的正增量；同理，它也会无穷多次出现连续$M$步的负增量。靠着这个性质，就能推导出它的上极限是正无穷、下极限是负无穷的概率都是1。

接下来我们聊聊一般情形下，怎么计算$P(\limsup S_n = \infty)$和$P(\liminf S_n = -\infty)$：

• 重对数律与极限定理路径：如果$X_i$的方差$\sigma^2 = Var(X_i)$存在，那么随机游走满足重对数律：
  $$\limsup_{n\to\infty} \frac{S_n}{\sqrt{2n\log\log n}} = \sigma \quad \text{a.s.}$$
  从这个式子直接就能看出，$S_n$会趋向正无穷（因为分母趋向无穷，分子跟着放大），所以$\limsup S_n = \infty$几乎必然成立。同理，把$X_i$换成$-X_i$，就能得到$\liminf S_n = -\infty$几乎必然成立。要是方差不存在，就得用广义重对数律这类更一般的极限工具来分析。

• 常返性与递归事件分析：一维零均值非退化的独立同分布随机游走是常返的——也就是说，它会无穷多次回到原点的任意小邻域内。假设$P(\limsup S_n < \infty) > 0$，那意味着有正概率，$S_n$永远被某个有限数束缚住，但结合常返性，它得不停回到原点附近，这就产生了矛盾，所以只能是$P(\limsup S_n = \infty)=1$。用同样的逻辑，也能推出$P(\liminf S_n = -\infty)=1$。

• 鞅方法的应用：我们可以构造和$S_n$相关的鞅来分析它的行为。比如当方差存在时，$S_n^2 - n\sigma^{2$是一个鞅，利用鞅的收敛定理，我们能得到$S_n$的增长速度信息。另外，还可以考虑指数鞅$e}{\theta S_n}$，虽然零均值非退化的$X_i$不一定满足Cramér条件（即存在$\theta\neq0$使得$E[e^{\theta X_i}]=1$），但通过上鞅/下鞅的性质，依然能推导$S_n$的上极限和下极限行为。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Satana