技术问询：求满足5< n/k <6的正整数n、k的lcm[n,k]/gcd(n,k)最小值

嘿，这个问题其实可以用数论里的基本关系拆解，不用盲目试数～咱们一步步来：

首先，回忆一个关键的数论公式：对于任意两个正整数$n$和$k$，$\text{lcm}(n,k) \times \gcd(n,k) = n \times k$。把这个公式变形，就能把咱们要求的式子转化为：
$\frac{\text{lcm}(n,k)}{\gcd(n,k)} = \frac{n \times k}{(\gcd(n,k))^2}$

接下来做变量替换简化问题：设$d = \gcd(n,k)$，那么可以把$n$写成$n = d \times a$，$k$写成$k = d \times b$——这里的$a$和$b$是互质的正整数（因为我们已经把最大公因数$d$完全提取出来了）。

把$n$和$k$代入原不等式$5 < \frac{n}{k} < 6$，$d$会被约掉，得到：
$5 < \frac{a}{b} < 6$
也就是$5b < a < 6b$

现在再看目标式子：因为$a$和$b$互质，$\text{lcm}(a,b) = a \times b$，所以：
$\text{lcm}(n,k) = d \times \text{lcm}(a,b) = d \times a \times b$
$\gcd(n,k) = d$
因此$\frac{\text{lcm}(n,k)}{\gcd(n,k)} = \frac{d \times a \times b}{d} = a \times b$

哦，原来问题简化成了：找互质的正整数$a$、$b$，满足$5b < a < 6b$，求$a \times b$的最小值！

现在咱们从小的$b$开始尝试：

• $b=1$时：$5 < a < 6$，没有整数$a$，直接跳过；
• $b=2$时：$10 < a < 12$，整数$a$只有11。检查$\gcd(11,2)=1$，确实互质！此时$a \times b = 11 \times 2 = 22$；
• $b=3$时：$15 < a < 18$，整数$a$为16、17。$\gcd(16,3)=1$，$16 \times 3 = 48$；$\gcd(17,3)=1$，$17 \times 3 = 51$，都比22大；
• $b \geq 4$时：$a$的最小值是$5b+1$，此时$a \times b = (5b+1) \times b = 5b^2 + b$，当$b=4$时结果为84，显然远大于22。

咱们再验证一下有没有更小的可能：

• 若$a \times b=21$，可能的$(a,b)$对是$(21,1)$（$21/1=21>6$，不满足）、$(7,3)$（$7/3≈2.33<5$，不满足）；
• 若$a \times b=20$，可能的$(a,b)$对要么比值不在5~6之间，要么$a$和$b$不互质（比如$(10,2)$，$\gcd(10,2)=2$，且$10/2=5$，等于5不满足$>5$）。

所以，$\frac{\text{lcm}[n,k]}{\gcd(n,k)}$的最小可能值就是22。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A Piercing Arrow