求左半单非右半单的环及非半素环示例

嘿，我来给你构造一个完全符合要求的环例子，它满足左半单、非右半单、非幺元、非半素这四个条件：

环的定义 #

设 ( F ) 是任意一个域（比如实数域 ( \mathbb{R} )），定义环 ( R ) 为所有形如：

( x  y )
( 0  0 )

的2×2矩阵构成的集合，其中 ( x, y \in F )。环的运算采用普通的矩阵加法和乘法。

验证各性质 #

我们逐一验证它满足你的要求：

1. 非幺元环

假设 ( R ) 存在单位元 ( I = \begin{pmatrix} a & b \ 0 & 0 \end{pmatrix} )，那么对任意 ( r \in R )，必须满足 ( Ir = r = rI )。

• 取 ( r = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} )，则 ( Ir = \begin{pmatrix} a & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = r )，可得 ( a = 1 )。
• 再取 ( r = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} )，则 ( rI = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq r )，矛盾。
  因此 ( R ) 没有单位元，是非幺元环。

2. 非半素环

考虑 ( R ) 的理想 ( I = \left{ \begin{pmatrix} 0 & y \ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid y \in F \right} )，显然 ( I \neq 0 )，但计算 ( I^2 )：
任意两个 ( I ) 中的元素相乘：

( 0  y )   ( 0  z )   ( 0  0 )
( 0  0 ) * ( 0  0 ) = ( 0  0 )

即 ( I^2 = 0 )。存在非零理想的平方为零，说明 ( R ) 是非半素环。

3. 左半单环

左半单环的定义是：环自身作为左模是半单的（即可分解为左单模的直和），且所有左模都是半单的。

• 将 ( R ) 分解为两个左理想的直和：( R = L_1 \oplus L_2 )，其中
  ( L_1 = \left{ \begin{pmatrix} x & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid x \in F \right} )，
  ( L_2 = \left{ \begin{pmatrix} 0 & y \ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid y \in F \right} )。
• 验证 ( L_1 ) 是左单模：取 ( L_1 ) 中任意非零元 ( \begin{pmatrix} x & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} )（( x \neq 0 )），对任意 ( \begin{pmatrix} a & b \ 0 & 0 \end{pmatrix} \in R )，左乘可得 ( \begin{pmatrix} ax & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} )。由于 ( F ) 是域，( x ) 可逆，因此可以生成 ( L_1 ) 中所有元素，即 ( L_1 ) 没有非平凡左子模，是左单模。
• 同理，( L_2 ) 也是左单模：任意非零元左乘 ( R ) 中元素可生成整个 ( L_2 )。

因此 ( R ) 作为左模是半单的，故 ( R ) 是左半单环。

4. 非右半单环

右半单环必然是半素环（因为半单环的理想都是直和项，幂零理想只能是零），但我们已经证明 ( R ) 是非半素环，因此 ( R ) 不可能是右半单环。

另外也可以直接验证：考虑 ( R ) 作为右模，右理想 ( L_2 ) 满足 ( L_2 R = 0 )，且 ( R ) 无法分解为单右模的直和，进一步确认它不是右半单环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elspeth