对几何级数取半阶导数推导新级数公式时遇错误，求排查

嘿，我来帮你梳理下这个半阶导数推导的问题～首先咱们先明确基础的几何级数公式（收敛域$|r|<1$）：
$$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$$

你尝试通过对两边取半阶导数生成新公式时遇到了错误，参考资料后得到了这个不完整的式子：
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+1)r^{{n-\frac{1}{2}}}{\Gamma(n+\frac{1}{2})}=\frac{\sqrt{\pi}}{2(1-r)}{\frac{3}{2}}}$$

下面我把正确的推导过程理清楚，再帮你排查可能出错的点：

一、半阶导数的核心公式（黎曼-刘维尔定义） #

分数阶导数中最常用的是黎曼-刘维尔定义，对于幂函数$f(r)=r^n$，其$\alpha$阶导数的公式为：
$$D^\alpha r^n = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-\alpha)} r^{n-\alpha}$$

当$\alpha=\frac{1}{2}$（半阶导数）时，代入得：
$$D^{\frac{1}{2}} r^n = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})} r^{n-\frac{1}{2}}$$

二、对几何级数逐项求半阶导数 #

对几何级数左边逐项取半阶导数，得到：
$$D^{\frac{1}{2}} \left( \sum_{n=0}^\infty r^n \right) = \sum_{n=0}^\infty D^{\frac{1}{2}} r^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})} r^{n-\frac{1}{2}}$$

这里要注意：逐项求分数阶导数的合法性——几何级数在$|r|<1$内绝对一致收敛，其半阶导数级数也满足一致收敛条件，所以逐项求导是合法的。

三、对右边$\frac{1}{1-r}$求半阶导数 #

根据黎曼-刘维尔分数阶导数的通用公式，对于$f(r)=(1-r)^{-k}$，其$\alpha$阶导数为：
$$D^\alpha (1-r)^{-k} = \frac{\Gamma(k+\alpha)}{\Gamma(k)} (1-r)^{-k-\alpha}$$

代入$k=1$，$\alpha=\frac{1}{2}$，再结合$\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$、$\Gamma(1)=1$，可得：
$$D^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{1-r} \right) = \frac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(1)} (1-r)^{-1-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2(1-r)^{\frac{3}{2}}}$$

这样就和你参考资料得到的完整式子对上了。

四、你可能出错的几个方向 #

1. 分数阶导数定义混淆
   分数阶导数有多种定义（黎曼-刘维尔、卡普托等），比如卡普托定义下，常数的半阶导数为0，这会导致左边级数丢失$n=0$的项，结果自然和参考资料不符。先确认你用的是哪种定义，这是最常见的出错点。

2. 伽马函数计算失误
   $\Gamma(n+\frac{1}{2})$有特定的递推公式：$\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^{n}\sqrt{\pi}$，或者$\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{\Gamma(2n+1)}{2}{2n}\Gamma(n+1)}\sqrt{\pi}$，如果计算时搞错了这个关系，会直接导致项的系数出错。

3. 逐项求导的合法性忽略
   虽然这里几何级数的逐项半阶导数是合法的，但如果没确认收敛域（$|r|<1$），或者在不满足一致收敛的区域尝试推导，也会得到错误结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tom Himler