迭代三角数重复迭代运算后，其末尾数字是否会出现重复？

嘿，这个问题挺有意思的！咱们先把定义再理清楚，然后一步步分析为什么答案是肯定会重复，而且必然会进入循环。

先明确核心定义 #

首先回顾下基础概念：

• 一个数$n$的三角数公式是：$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$，也就是1到$n$的整数和。
• 迭代三角数就是反复对结果应用$T$运算，比如你举的例子：$2 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 21 \rightarrow 231 \rightarrow 26796 \rightarrow ...$

为什么末尾数字必然重复？ #

核心原因来自鸽巢原理，结合迭代过程的状态有限性：

1. 迭代的状态空间是有限的 #

要确定下一个迭代三角数的末尾数字，我们不需要关注整个数，只需要关注当前数的模值（比如模20）——因为三角数的末尾数字只由当前数的最后几位决定。而模20的可能取值只有0到19这20种，这意味着迭代过程中最多有20种不同的“状态”。

根据鸽巢原理：如果我们进行超过20次迭代，必然会出现重复的状态。一旦某个状态重复出现，后续的迭代序列就会和之前的序列完全一致，也就是进入了循环。

2. 结合例子验证循环性 #

拿你给出的初始数2来跟踪末尾数字的变化：

• 初始数2 → 末尾2
• $T(2)=3$ → 末尾3
• $T(3)=6$ → 末尾6
• $T(6)=21$ → 末尾1
• $T(21)=231$ → 末尾1
• $T(231)=26796$ → 末尾6
• $T(26796)$ → 末尾6（计算：$26796$是偶数，$T(26796)=\frac{26796 \times 26797}{2}=13398 \times 26797$，末尾数字由$8 \times 7=56$得6）
• 接下来$T(xxx6)$如果是像16这样的数，结果末尾还是6；如果是像6这样的数，结果末尾是1——不管怎样，最终一定会进入某个循环（比如6→1→6→1，或者6→6的自循环）

总结 #

不管你从哪个初始数字开始，迭代三角数的末尾数字序列最终一定会进入循环。因为迭代过程的状态是有限的，不可能无限生成新的末尾数字，必然会出现重复，从而开启循环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Allam A.