给定9个采样点时Romberg积分Tₘₙ与点数的关系及近似值疑问

一、Tₘₙ和采样点数的对应关系 #

先把Romberg积分里Tₘₙ的两个下标含义掰扯清楚：

• 第二个下标n：表示积分区间被划分成了n等份，而且n必须是2的幂（比如1、2、4、8这类），这是Romberg积分逐步加密采样节点的核心要求。
• 第一个下标m：代表对初始梯形法的结果进行了m次Richardson外推，外推的作用是大幅提升积分近似的精度。

采样点数和n的对应关系非常直观：采样点数 = n + 1。因为n个区间需要n+1个端点作为采样点，举几个你提到的例子就能明白：

• T₀₁：n=1（1个区间），对应2个采样点；
• T₀₂：n=2（2个区间），对应3个采样点；
• T₀₈：n=8（8个区间），对应9个采样点，正好匹配你手里的9个点数据。

另外要注意，外推阶数m不能超过log₂(n)，比如T₃₈里n=8=2³，所以m最大只能到3，更高阶的外推就没有足够的低阶结果来支撑计算了。

二、T₄,₁₆和T₂,₄能否作为最终近似值？ #

1. 关于T₄,₁₆ #

完全不能用。原因很直白：T₄,₁₆对应的n=16，需要16+1=17个采样点，但你只有9个点，连计算这个值的基础数据都没有。Romberg的高阶外推依赖于更细的区间划分结果，16等分的区间你根本没有采样数据，所以T₄,₁₆是无法计算出来的，自然不能作为最终近似值。

2. 关于T₂,₄ #

它是一个有效的积分近似值，但绝对不适合作为你这个问题的最终结果：

• 首先，T₂,₄只用到了5个采样点（n=4对应5个点），而你手里有9个点，相当于浪费了近一半的数据，精度肯定不如利用全部9个点得到的高阶结果（比如T₃₈）。
• 从精度阶来看，Romberg积分中Tₘₙ的误差阶是O(h^(2(m+1)))（h是区间步长）。T₂,₄的误差阶是O(h^6)，而T₃₈的误差阶是O(h^8)，后者的精度明显更高。

所以如果你是用给定的9个点来求解积分，最优的最终近似值应该是T₃₈，而不是T₂,₄。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Numerical Newbie