技术求助：从0-9有放回随机选4个数字，求和为20的概率计算

别担心，我来一步步帮你拆解这个问题，核心就是算清楚两个关键数值：总共有多少种选法，以及其中满足数字和为20的选法数量，最后用后者除以前者就能得到概率了。

第一步：计算总样本数 #

因为是有放回地选取4个数字，每个位置都能选0-9中的任意一个，所以每个位置有10种可能。总样本数就是：
10 × 10 × 10 × 10 = 10^4 = 10000

第二步：计算满足和为20的样本数 #

这是问题的难点，我们需要找出所有满足 x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 20 的非负整数解，其中每个 xᵢ 的取值范围是0到9（毕竟每个数字只能是0-9）。这里用容斥原理来计算最清晰：

2.1 先算不考虑取值上限的解数 #

如果不管每个数字最大是9，方程 x₁+x₂+x₃+x₄=20 的非负整数解数可以用「隔板法」计算，公式是组合数 C(n + k - 1, k - 1)，其中n是和（20），k是变量数（4）。代入得：
C(20 + 4 - 1, 4 - 1) = C(23, 3) = (23×22×21)/(3×2×1) = 1771

2.2 减去至少一个数字≥10的情况 #

现在要排除那些有数字超过9的解（因为每个数字最多是9）。假设某个数字x₁≥10，我们令 x₁' = x₁ - 10（这样x₁'就是非负整数），方程就变成：
x₁' + x₂ + x₃ + x₄ = 20 - 10 = 10
这个方程的解数是 C(10 + 4 - 1, 4 - 1) = C(13, 3) = (13×12×11)/(3×2×1) = 286
因为4个数字都可能超过9，所以这类解的总数是 4 × 286 = 1144

2.3 加回至少两个数字≥10的情况 #

刚才的减法中，我们把同时有两个数字≥10的情况多减了一次，所以得加回来。比如x₁≥10且x₂≥10，令 x₁'=x₁-10、x₂'=x₂-10，方程变成：
x₁' + x₂' + x₃ + x₄ = 20 - 20 = 0
这个方程只有1个解（所有变量都是0）。从4个数字里选2个的组合数是 C(4, 2) = 6，所以这类解的总数是 6 × 1 = 6

2.4 无需考虑三个或四个数字≥10的情况 #

如果有三个数字≥10，那它们的和至少是30，已经超过了20，所以这种情况不存在，不用管。

最终满足条件的解数 #

根据容斥原理，所有数字都≤9的解数是：
1771 - 1144 + 6 = 633

第三步：计算概率 #

概率就是满足条件的样本数除以总样本数：
633 / 10000 = 0.0633，也就是6.33%

内容的提问来源于stack exchange，提问作者H.R