实分析入门：证明u∈C([0,1])时Lu属于C([0,1])

问题描述 #

设(C([0, 1]))为所有连续函数(u:[0, 1] \to \mathbb{R})构成的集合。对任意(u)，定义算子：
$$(Lu)(t) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}e{-u(x)}(x+t)dx$$
证明(Lu \in C([0, 1]))。

证明过程 #

这是个很典型的算子连续性证明问题，我们可以通过连续函数的(\epsilon-\delta)定义直接验证，步骤如下：

1. 利用闭区间连续函数的有界性
   因为(u \in C([0,1]))，闭区间上的连续函数必然有界，所以存在常数(M > 0)，使得对所有(x \in [0,1])，都有(|u(x)| \leq M)。
   结合指数函数的单调性，可得(e^{{-u(x)})也是有界的：(e}{-u(x)} \leq e^{|u(x)|} \leq e^M)。

2. 用(\epsilon-\delta)定义验证连续性
   任取(t_0 \in [0,1])，我们需要证明：对任意(\epsilon > 0)，存在(\delta > 0)，当(|t - t_0| < \delta)时，(|(Lu)(t) - (Lu)(t_0)| < \epsilon)。

   先计算差值：
   $$
   |(Lu)(t) - (Lu)(t_0)| = \frac{1}{2}\left| \int_{0}^{1} e^{-u(x)}(x+t)dx - \int_{0}^{1} e^{-u(x)}(x+t_0)dx \right|
   $$
   合并积分项后化简：
   $$
   = \frac{1}{2}\left| \int_{0}^{1} e^{-u(x)}(t - t_0)dx \right| = \frac{1}{2}|t - t_0| \cdot \left| \int_{0}^{1} e^{-u(x)} dx \right|
   $$

   由于(e^{-u(x)} \leq e^{M)，积分(\int_{0}}{1} e^{-u(x)} dx \leq \int_{0}^{1} e^M dx = e^M)，这是一个固定常数。因此：
   $$
   |(Lu)(t) - (Lu)(t_0)| \leq \frac{1}{2} e^M |t - t_0|
   $$

   现在取(\delta = \frac{2\epsilon}{e^M})，当(|t - t_0| < \delta)时，显然有：
   $$
   |(Lu)(t) - (Lu)(t_0)| \leq \frac{1}{2} e^M \cdot \frac{2\epsilon}{e^M} = \epsilon
   $$

   这就满足了连续函数的定义，因此(Lu)在(t_0)处连续。由于(t_0)是([0,1])中的任意点，所以(Lu \in C([0,1]))。

另一种简洁方法：利用勒贝格控制收敛定理 #

如果熟悉实分析中的控制收敛定理，也可以快速完成证明：

• 对每个固定的(x \in [0,1])，函数(f(x,t) = e^{-u(x)}(x+t))关于(t)是连续的；
• 存在可积的控制函数：(|f(x,t)| = e^{-u(x)}(x+t) \leq e^M(1+1) = 2e^M)，而(2eM)在([0,1])上可积；
• 根据控制收敛定理，可交换极限与积分的顺序：
  $$
  \lim_{t \to t_0} (Lu)(t) = \frac{1}{2} \lim_{t \to t_0} \int_{0}^{1} f(x,t)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \lim_{t \to t_0} f(x,t)dx = (Lu)(t_0)
  $$
  直接得到(Lu)在(t_0)处连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user2005142