利用Mayer-Vietoris构造任意次数Sⁿ→Sⁿ映射的证明困惑求助

嘿，我来帮你梳理这个问题的思路～你已经用到了球面的上下半球分解，这正是关键的一步，结合归纳法和Mayer-Vietoris序列完全能搞定，咱们一步步来：

1. 先明确映射次数的定义 #

映射 ( h:S^n \to S^n ) 的次数，本质是它诱导的n维同调群同态 ( h_*:H_n(S^n) \to H_n(S^n) ) 的“缩放系数”——因为 ( H_n(S^n) \cong \mathbb{Z} )，这个系数就是整数d，也就是我们要找的次数。

2. 基例：n=1的情况 #

先从最直观的1维球面 ( S^1 ) 入手，构造映射 ( h:S^1 \to S^1 ) 为复数乘法：把 ( S^1 ) 看作单位复数集合，映射规则是 ( z \mapsto z^d )。

• 从基本群角度看：( \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} )，这个映射把绕圆1圈的环路变成绕d圈的环路，诱导的同态是“乘以d”；
• 而 ( H_1(S^1) ) 和 ( \pi_1(S^1) ) 是同构的（基本群Abel化就是1维同调群），所以对应的同调同态也是乘以d，次数就是d。这一步很容易验证，先把基例坐实。

3. 归纳步骤：假设n=k成立，推导n=k+1成立 #

你已经把 ( S^{k+1} ) 拆成了上半球 ( T ) 和下半球 ( B )，且 ( T \cap B = S^k )，这刚好可以用Mayer-Vietoris序列来关联高维和低维的同调：

简化后的Mayer-Vietoris序列 #

因为 ( T ) 和 ( B ) 都同胚于 ( D^{k+1} )（k+1维圆盘），圆盘是可缩空间，所有正维数的同调群都是0。所以Mayer-Vietoris序列中，我们关心的片段会简化成：

0 → H_{k+1}(S^{k+1}) → H_k(S^k) → 0

这里的中间箭头是连接同态 ( \partial )，由于序列是正合的，左边和右边都是0，所以 ( \partial ) 必然是一个同构（双射）。

用交换图关联高维与低维的诱导同态 #

现在我们构造映射 ( h:S^{k+1} \to S^{k+1} )：

• 按照归纳假设，已经存在 ( f:S^k \to S^k ) 次数为d；
• 让h在边界 ( T \cap B = S^k ) 上的限制等于f；
• 在T内部，把上半球（同胚于圆盘）连续映射到上半球T；同理，B内部映射到下半球B，保证整个h是连续的。

根据Mayer-Vietoris序列的自然性，诱导同态满足交换关系：
[ \partial \circ h_* = f_* \circ \partial ]
因为 ( \partial ) 是同构，我们可以两边左乘 ( \partial^{-1} )，得到：
[ h_* = \partial^{-1} \circ f_* \circ \partial ]
既然 ( f_* ) 是“乘以d”，那么 ( h_* ) 也必然是乘以d——这就说明h的次数是d，归纳步骤完成！

4. 另一种直观构造：悬挂映射 #

如果你觉得同调序列有点抽象，还可以用悬挂映射的性质来理解：
对任意映射 ( f:S^k \to S^k )，它的悬挂 ( \Sigma f:S^{k+1} \to S^{k+1} )（把 ( S^{k+1} ) 看作 ( S^k ) 悬挂起来的空间：每个 ( x \in S^k ) 对应一条线段，两端点粘成南北极）的次数和f的次数完全相同。

比如n=1时的 ( z \mapsto z^d ) 悬挂后，就是 ( S^2 ) 上绕南北极轴旋转d次的映射，次数自然是d；以此类推，就能得到任意n维球面上次数为d的映射。

这样整个逻辑链就完整了：从n=1的直观构造出发，用归纳法结合Mayer-Vietoris序列，或者悬挂映射的性质，都能证明对任意整数d和n≥1，存在次数为d的球面自映射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Math is hard