如何证明指定水平集不是ℝ²的1维子流形？求思路建议

一般思路总结 #

要证明一个水平集不是指定维度的子流形，核心是抓住子流形的局部拓扑本质：k维子流形的每一点都存在一个邻域，使得该邻域与水平集的交集同胚于$\mathbb{R}^k$的开集。常见的突破口包括：

• 找到水平集上的临界点（梯度为零的点），分析该点附近水平集的拓扑结构是否与k维流形的局部性质矛盾；
• 验证水平集在某点附近是否存在孤立点、分叉或其他不符合流形局部“平滑无奇异”的结构。

针对你的具体案例的证明思路 #

你已经知道$p=\left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)$是$f(x,y)=x^3+xy+y3+1$的严格局部极大值点，这个结论正是关键，我们可以通过以下步骤完成证明：

1. 利用严格局部极大值的性质
   因为$p$是严格局部极大值，根据定义，存在$p$的一个充分小的邻域$V$，使得对所有$(x,y)\in V$且$(x,y)\neq p$，都有$f(x,y) < f(p)$。这意味着在$V$内，水平集$S=f^{-1}({f(p)})$与$V$的交集只有${p}$——也就是$p$是$S$中的孤立点。

2. 对比1维子流形的局部要求
   根据1维子流形的定义，$S$中的每一点都必须存在一个邻域$U$，使得$U\cap S$同胚于$\mathbb{R}^1$的开区间（开区间包含无限多个点）。但$p$作为$S$的孤立点，其任意邻域与$S$的交集都只有单点${p}$，显然无法同胚于开区间，这直接违反了1维子流形的局部拓扑要求。

3. 得出结论
   由于$S$中存在不满足1维子流形局部性质的点$p$，因此$S$不可能是$\mathbb{R}^2$的1维子流形。

补充一点：你可以验证$S$还包含其他点（比如$(1/3,0)$、$(0,1/3)$），这些点附近的水平集是平滑曲线，但$p$这个孤立点的存在足以破坏整个集合的子流形结构——子流形要求每一点都满足局部同胚条件，只要有一个点不满足，整个集合就不是子流形。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userr777