两相切圆公切线相关证明求助：求证MP=PQ

我来帮你搞定这个卡了好几小时的几何证明题！咱们一步步拆解，思路就清晰了：

先明确已知条件 #

• 圆A与圆B外切（因为存在非切点的公切线MN，内切的话没有这类公切线），设圆A半径为r，圆B半径为R
• MN是两圆的外公切线，切点分别为M（圆A）、N（圆B），因此AM⊥MN，BN⊥MN，且AM=r，BN=R
• MP是圆A的直径，所以MP=2r，且AP=r（A是圆心）
• PQ是圆B的切线，Q为切点，故BQ⊥PQ，BQ=R

步骤1：计算公切线长MN与圆心距AB #

因为AM∥BN（都垂直于MN），过A作AC⊥BN于C，此时四边形AMNC是矩形，所以：

• AC=MN
• CN=AM=r，因此BC=BN - CN=R - r

两圆外切，圆心距AB=r+R。在Rt△ABC中，由勾股定理：

AC² + BC² = AB²

代入已知值展开计算：

MN² + (R - r)² = (r + R)²
MN² = (r+R)² - (R - r)² = 4rR

所以MN=2√(rR)

步骤2：计算线段PB的长度 #

连接PB，注意MP是圆A的直径且AM⊥MN，所以MP与MN垂直，即P、A、M在同一条垂直于MN的直线上。

过P作PD⊥BN于D，此时PD=MN=2√(rR)，垂直方向上的距离BD=|R - 2r|（因为P到MN的距离是2r，BN到MN的距离是R）。

在Rt△PDB中，由勾股定理：

PB² = PD² + BD²
PB² = (2√(rR))² + (R - 2r)²
PB² = 4rR + R² - 4rR + 4r²
PB² = R² + 4r²

步骤3：利用切线长定理推导PQ与MP的关系 #

根据切线长定理，圆外一点到圆的切线长的平方等于该点到圆心距离的平方减去半径的平方，即：

PQ² = PB² - BQ²

代入PB²=R²+4r²和BQ=R：

PQ² = (R² + 4r²) - R² = 4r²

而MP=2r，所以MP²=4r²，因此PQ²=MP²，即PQ=MP，得证！

这样一步步拆解下来是不是就通顺了？之前卡住大概率是没把各线段的关系用勾股定理串联起来，用坐标系辅助定位各点位置会更容易找到突破口~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3709