可添加至ZFC以证明GCH且满足特定条件的最弱公理X是什么？

首先得明确几个核心前提：

• 你说的“最弱”在集合论里通常指可证性序下的极小元：如果X是满足条件的公理，那么任何其他满足条件的公理Y都能在ZF中推出X。但这种绝对的“最弱”未必存在——集合论的公理体系中，这类满足条件的公理可能形成一个没有极小元的链。不过我们可以找到完全符合你要求的候选公理，也能回答你关于“是否已知这样的X”的问题。
• 你明确的两个关键条件是：
  1. ( ZF \vdash AC + X \implies GCH )（AC与X结合能推出GCH）
  2. ( ZF \nvdash GCH \implies X )（GCH不能推出X，避免像直接加GCH那样让AC冗余——毕竟ZF中GCH本身就蕴含AC）
     另外你隐含了一个要求：X本身不蕴含AC，否则ZFC+X就等价于ZF+X，AC还是冗余的，和直接加GCH的情况一样。

符合条件的候选公理 #

虽然没有绝对的“最弱”，但我们可以构造出满足所有条件的X。举一个相对自然的例子：

X：对于每个可良序的无限集合A，( 2^{|A|} = |A|^+ )，并且存在至少一个不可良序的集合

我们来验证它满足所有条件：

1. AC+X⇒GCH：AC保证所有集合都可良序，所以X的第一部分直接等价于GCH——每个无限集合的幂集基数都是它的后继基数。
2. ZF⊬GCH⇒X：ZF中GCH蕴含AC，所以GCH成立的模型里所有集合都可良序，X的第二部分（存在不可良序集）为假，因此GCH不仅推不出X，反而推出X的否定，自然满足条件。
3. X不蕴含AC：存在ZF的模型，其中有不可良序的集合，但所有可良序的无限集合的幂集都是其后继基数——在这样的模型里X成立，但AC不成立，说明X本身不蕴含AC。

如果你想要更“简洁”的公理，也可以构造其他形式，比如将X定义为**“（AC∧GCH∧V≠L）∨（¬AC∧所有可良序无限集的幂集是其后继）”**，它同样满足所有条件：

• AC成立时，X要求GCH成立；
• GCH成立的L模型中，X为假（因为V=L），所以GCH推不出X；
• 存在¬AC的模型让X成立，说明X不蕴含AC。

是否已知这样的X？ #

是的，这样的X是存在的，并且集合论研究者已经构造出多个符合要求的例子。不过需要注意：

• 没有一个被广泛接受的“绝对最弱”公理，因为“最弱”依赖于具体的可证性序，而这个序中可能不存在极小元——总能找到更弱的公理Y，使得ZFC+Y⇒GCH且Y不能推出X。
• 如果你只需要满足你列出的两个核心条件，那么这类公理的构造并不困难，本质上只需要让X在AC成立时等价于GCH，同时让X在GCH成立的某些模型中为假，并且X本身不蕴含AC。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark Kortink