实系数矩阵特征多项式疑问：若p_A(x)=p_A(-x)能否判定为实系数？

结论先行：不能仅凭$p_A(x)=p_A(-x)$就判定该特征多项式是实系数多项式。下面具体解释原因并给出反例：

核心逻辑拆解 #

首先，$p_A(x)=p_A(-x)$这个条件仅仅说明特征多项式是偶函数——也就是多项式中所有奇次幂的系数都为0，但这个性质和系数是否为实数没有必然联系。特征多项式的系数是否为实数，本质上取决于矩阵$A$的元素域：

• 如果$A$是实矩阵，那么它的特征多项式必然是实系数的，同时若满足$p_A(x)=p_A(-x)$，那它就是一个实系数的偶函数多项式；
• 但如果$A$是复数域上的矩阵，我们完全可以构造出满足偶函数条件，但系数包含复数的特征多项式。

具体反例 #

比如我们构造一个复数域上的4阶友矩阵，它的特征多项式为x⁴ + i x² + 1：

[ 0  0  0  -1 ]
[ 1  0  0  0  ]
[ 0  1  0  -i ]
[ 0  0  1  0  ]

计算这个矩阵的特征多项式：$\det(xI - A) = x⁴ + i x² + 1$，显然满足$p_A(x)=p_A(-x)$（代入$-x$后，$(-x)^4 + i(-x)^2 +1 = x⁴ +i x² +1$），但多项式的系数包含复数i，并非实系数。

额外补充 #

反过来，如果已知特征多项式是实系数的，且满足$p_A(x)=p_A(-x)$，那么可以推出矩阵$A$的特征值要么是0，要么是成对出现的$\pm\lambda$（$\lambda$为实数或共轭复数对）——不过这是另一个延伸结论了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Denny