求解递推式$a_{n+1}=P/(P-1)$的技术咨询（含和积等式背景）

嘿，咱们一步步拆解这个递推式问题，顺便把它和你关注的“和等于积”方程关联起来~

首先，把递推式里的乘积符号简化一下：令 ( P_n = \prod_{i=1}^n a_i )，那题目里的递推式可以写成 ( a_{n+1} = \frac{P_n}{P_n - 1} )。这个形式看起来绕，但我们可以通过引入新变量来简化它：

定义 ( b_n = 1 - \frac{1}{P_n} )，代入递推式看看：

• 首先，( a_{n+1} = \frac{P_n}{P_n - 1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{P_n}} = \frac{1}{b_n} )，这一步把 ( a_{n+1} ) 和 ( b_n ) 直接关联起来了。
• 然后看 ( P_{n+1} = P_n \cdot a_{n+1} = P_n \cdot \frac{P_n}{P_n - 1} = \frac{P_n}{1 - \frac{1}{P_n}} = \frac{P_n}{b_n} )，所以 ( \frac{1}{P_{n+1}} = \frac{b_n}{P_n} )。
• 代入 ( b_{n+1} ) 的定义：( b_{n+1} = 1 - \frac{1}{P_{n+1}} = 1 - \frac{b_n}{P_n} )，而 ( P_n = \frac{1}{1 - b_n} )（从 ( b_n = 1 - \frac{1}{P_n} ) 反推），替换后得到：
  ( b_{n+1} = 1 - b_n(1 - b_n) = b_n^2 - b_n + 1 )

这下就把原来依赖乘积的递推，转化成了单变量的非线性递推 ( b_{n+1} = b_n^2 - b_n + 1 )，是不是清爽多了？

你提到的动机是找自然数 ( n ) 下满足 ( \sum_{i=1}^n \alpha_i = \prod_{i=1}^n \alpha_i ) 的实解，这时候我们可以从刚才的变换里找到直接的联系：

从 ( a_{k+1} = \frac{1}{b_k} )，以及 ( b_k = 1 - \frac{1}{P_k} )，我们可以推导：
对递推式 ( b_{n+1} - 1 = b_n(b_n - 1) ) 取倒数变形，能得到 ( \frac{1}{b_k} = \frac{1}{b_k - 1} - \frac{1}{b_{k+1} - 1} )。

把 ( k ) 从1到 ( n-1 ) 累加起来：
[ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{b_k} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{b_k - 1} - \frac{1}{b_{k+1} - 1} \right) = \frac{1}{b_1 - 1} - \frac{1}{b_n - 1} ]

左边的和就是 ( \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1} = \sum_{i=2}^n a_i )，右边代入 ( b_1 = 1 - \frac{1}{a_1} )（因为 ( P_1 = a_1 )），可得 ( b_1 - 1 = -\frac{1}{a_1} )，而 ( b_n - 1 = -\frac{1}{P_n} )，所以右边化简后是 ( -a_1 + P_n )。

把左右两边拼起来：
[ \sum_{i=2}^n a_i = P_n - a_1 ]
移项后就是 ( \sum_{i=1}^n a_i = P_n )，这正好就是你要的“和等于积”的条件！

现在你可以直接用这个递推来生成满足条件的解：

• 任取一个不等于1的实数 ( a_1 )
• 计算 ( P_1 = a_1 )，然后 ( a_2 = \frac{P_1}{P_1 - 1} = \frac{a_1}{a_1 - 1} )（这就是你提到的n=2时的解）
• 对 ( 2 \leq k \leq n-1 )，先算 ( P_k = P_{k-1} \cdot a_k )，再算 ( a_{k+1} = \frac{P_k}{P_k - 1} )

这样生成的序列 ( (a_1, a_2, ..., a_n) ) 一定满足 ( \sum_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n a_i )。

举个n=3的例子验证下：
取 ( a_1 = 2 )，则 ( a_2 = 2/(2-1) = 2 )，( P_2 = 22=4 )，( a_3=4/(4-1)=4/3 )。
求和：2+2+4/3=16/3，乘积：22*(4/3)=16/3，确实相等！

如果想直接用 ( a_1 ) 表示每一项 ( a_m )（2≤m≤n），可以通过 ( b_n ) 的递推来推导：

• ( b_1 = \frac{a_1 - 1}{a_1} )
• ( b_m = b_{m-1}^2 - b_{m-1} + 1 )（迭代计算）
• ( a_m = \frac{1}{b_{m-1}} )

不过这个递推的显式表达式会涉及到高次幂（比如 ( b_m ) 是 ( a_1 ) 的 ( 2^{m-2} ) 次多项式），形式比较繁琐，实际用的时候直接迭代计算更方便。

另外补充一点：你查的“有理差分方程”条目里大多是线性或分式线性的递推，而这个问题是依赖前n项乘积的非线性递推，所以用乘积的倒数变换（比如 ( b_n = 1 - 1/P_n )）是这类问题的常用技巧，能把复杂的乘积依赖转化为简单的单变量递推。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Freddie