鲁丁《实分析与复分析》问题：非零非常数内函数1/φ∉H^p（p>0）

这是鲁丁《实分析与复分析》里的经典问题，咱们用反证法结合调和函数的性质来推导矛盾，思路完全贴合题目提示的方向：

首先明确已知条件：

• φ是单位圆盘𝔻内的非零非常数内函数：即φ∈H^{∞，且径向极限φ}在单位圆周𝕋上几乎处处满足|φ^|=1；同时φ在𝔻内处处非零、不是常数函数。
• 已知log|φ|是𝔻内的负调和函数，因此log|1/φ| = -log|φ|是𝔻内的正调和函数。

反证法假设与矛盾推导 #

假设存在某个p>0，使得1/φ ∈ H^p，我们一步步推出矛盾：

1. 边界径向极限的模：
   因为φ是内函数，|φ^{*|=1几乎处处成立于𝕋，所以显然|1/φ}*|=1也几乎处处成立于𝕋。

2. 正调和函数的边界性质：
   log|1/φ|是𝔻内的正调和函数，而当r→1⁻时，它的径向极限log|1/φ^{*|=0几乎处处成立于𝕋（因为|φ}*|=1）。

   根据调和函数的最大值原理（正调和函数的边界值性质）：如果一个正调和函数在边界上几乎处处为0，那么这个调和函数在整个圆盘内恒为0。具体来说，对于任意固定的z∈𝔻，用Poisson积分表示u=log|1/φ|：

   u(z) = ∫_𝕋 P_z(θ) u^*(e{iθ}) dm(θ)
   其中P_z是Poisson核，非负且积分等于1。因为u^*=0 a.e.，所以右边积分等于0，即u(z)=0对所有z∈𝔻成立。

3. 推出φ是常数的矛盾：
   u(z)=log|1/φ(z)|=0对所有z∈𝔻成立，意味着|φ(z)|=1对所有z∈𝔻成立。而φ是𝔻内的解析函数，模恒为1的解析函数必为常数（这是Liouville定理在单位圆盘上的推论：解析且模有界为1，若模恒等于上界则是常数）。但这与题目中φ是非常数内函数的条件矛盾！

因此我们的假设不成立，即不存在p>0使得1/φ ∈ H^p，也就是1/φ ∉ H^p对所有p>0成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Heisenberg