$\mathbb R^m\otimes\mathbb R^n$与$\mathbb R^{mn}$等距同构的范数选取技术问询
问题1：能否选取范数，使得$\mathbb{R}m\otimes\mathbb{R}n\cong\mathbb{R}^{mn}$为等距同构？
答案是肯定的。
首先，$\mathbb{R}m\otimes\mathbb{R}n$和$\mathbb{R}^{mn}$作为实向量空间天然存在代数同构——比如我们可以把张量积的基元素$e_i\otimes e_j$对应到$\mathbb{R}^{mn}$的标准基向量，得到一个双射线性映射$\phi: \mathbb{R}m\otimes\mathbb{R}n \to \mathbb{R}^{mn}$。
利用这个同构，我们可以直接构造满足要求的范数：
- 先在$\mathbb{R}^{mn}$上选一个任意范数（比如常用的欧几里得范数$|\cdot|_2$）；
- 然后把这个范数“转移”到张量积空间上，定义$|v| = |\phi(v)|_2$对所有$v\in\mathbb{R}m\otimes\mathbb{R}n$成立。
这样一来，$\phi$自然就是等距同构了：$|\phi(v)|_2 = |v|$对所有张量$v$都成立。这个定义完全符合范数的三条公理（正定性、齐次性、三角不等式），因为$\phi$是双射线性映射，会把$\mathbb{R}^{mn}$范数的性质完整传递给张量积空间。
问题2：当$\mathbb{R}m\otimes\mathbb{R}n$配备单射张量范数或投射张量范数时，是否存在$\mathbb{R}^{mn}$上的范数使得该同构成为等距同构？
答案同样是肯定的。
不管张量积空间用的是单射张量范数（$|\cdot|\epsilon$）还是投射张量范数（$|\cdot|\pi$），这两个都是合法的范数，满足范数的所有基本性质。我们依然可以借助已有的代数同构来反向诱导$\mathbb{R}^{mn}$上的范数：
假设$\phi: \mathbb{R}m\otimes\mathbb{R}n \to \mathbb{R}{mn}$是任意固定的代数同构，我们在$\mathbb{R}{mn}$上定义范数：
$$|x|_{\mathbb{R}^{mn}} = |\phi^{-1}(x)|$$
这里的$|\cdot|$就是张量积空间上的单射或投射范数。
简单验证一下这个定义的合理性：
- 正定性：如果$|x|_{\mathbb{R}^{mn}} = 0$，则$|\phi^{-1}(x)| = 0$，由于张量积范数正定，$\phi^{-1}(x)=0$，再结合$\phi$是双射，可得$x=0$；
- 齐次性：$|\lambda x|{\mathbb{R}^{mn}} = |\phi^{-1}(\lambda x)| = |\lambda \phi^{-1}(x)| = |\lambda| |\phi^{-1}(x)| = |\lambda| |x|{\mathbb{R}^{mn}}$；
- 三角不等式：$|x+y|{\mathbb{R}^{mn}} = |\phi^{-1}(x+y)| = |\phi^{-1}(x) + \phi^{-1}(y)| \leq |\phi^{-1}(x)| + |\phi^{-1}(y)| = |x|{\mathbb{R}^{mn}} + |y|_{\mathbb{R}^{mn}}$。
在这个范数下，$\phi$就是标准的等距同构：$|\phi(v)|_{\mathbb{R}^{mn}} = |\phi^{-1}(\phi(v))| = |v|$，完美满足等距的要求。
这里有限维空间的特性是关键——我们不需要依赖范数等价性，直接通过线性同构的双射性就能构造出匹配的范数，保证等距关系成立。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者0xbadf00d
