凹函数的边界问题：二元连续凹函数相关微分不等式是否恒成立？

首先我们可以先简化题目中的不等式，让它更容易分析：

原不等式：
$$ f(x', y') - f(x, y) - f_x(x', y')(x' - x) \geq f(x', y') - f(x', y) $$

两边同时减去$f(x', y')$，再移项整理，等价于下面的不等式：
$$ f(x', y) - f(x, y) \geq f_x(x', y')(x' - x) \tag{1} $$

接下来结合凹函数的性质来分析这个等价不等式是否成立：

凹函数的一阶条件回顾 #

对于$\mathbb{R}^2$上的凹函数$f$，当它对第一个变量$x$可微时，固定$y$后，$g_y(x) = f(x, y)$是单变量凹函数。单变量凹函数的一阶条件是：对任意$a, b$，有
$$ g_y(b) - g_y(a) \leq g_y'(b)(b - a) $$
也就是
$$ f(x', y) - f(x, y) \leq f_x(x', y)(x' - x) \tag{2} $$

对比(1)和(2)可以发现，(1)的右边是$f_x(x', y')(x' - x)$，而非$f_x(x', y)(x' - x)$。当$y' \neq y$时，$f_x(x', y')$和$f_x(x', y)$可能存在巨大差异，甚至会直接导致(1)不成立。

反例验证 #

我们构造一个具体的凹函数来证明不等式不成立：
取$f(x, y) = -x^2 - xy$，这个函数是凹的（它的Hessian矩阵$\begin{pmatrix}-2 & -1 \ -1 & 0\end{pmatrix}$是负定矩阵，满足凹函数的二阶条件），且对$x$连续可微，$f_x(x, y) = -2x - y$。

现在选取具体取值：
$x' = 1$，$y' = -10$，$x = 0$，$y = 0$

计算不等式(1)的左边：
$$ f(1, 0) - f(0, 0) = (-1^2 - 1*0) - 0 = -1 $$

计算右边：
$$ f_x(1, -10)(1 - 0) = (-2*1 - (-10)) * 1 = 8 $$

显然，$-1 \geq 8$是不成立的，这就说明原不等式并非对所有$x, x', y, y' \in \mathbb{R}$都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brisão