给定赔率下公平游戏（期望为0）的金额求解及计算错误分析

嘿，我来帮你拆解清楚这里的问题～你的计算里有两个核心逻辑偏差，咱们一步步理明白：

你的计算错在哪里？ #

1. 完全搞反了赔率和概率的对应关系 #

你写的 p/(1-p)=10 是错误的！10:1的赔率（这里是赔付赔率，即odds against winning）的意思是：猜错的概率是猜对概率的10倍，也就是(1-p)/p = 10，而不是反过来。

简单说：10:1赔率代表“你每赢1次，会输10次”，所以赢的概率p是1/(1+10)=1/11，而不是10/11。

2. 期望价值的收益模型设定错误 #

你把体重误差范围x直接当成了金钱收益/损失的金额，这是混淆了两个完全不同的变量：

• x是体重的误差范围，决定的是你猜对的概率p
• 游戏的期望价值应该围绕金钱赌注和收益来计算，和x的数值本身没有直接的金钱等价关系

正确解法步骤 #

步骤1：明确赔率和公平游戏的核心逻辑 #

公平游戏的期望价值E=0，也就是「赢的期望收益」等于「输的期望损失」。

10:1的赔率规则是：假设你押注$S（任意非零金额，最后会约掉）：

• 猜对（概率p）：你获得10倍赌注的纯利润（即拿到10S，加上本金S的话总共11S，但计算期望时用纯利润更直接）
• 猜错（概率1-p）：你损失全部赌注S

步骤2：列期望价值公式并求解赢的概率p #

根据期望为0的条件：

E = p*(10S) + (1-p)*(-S) = 0

两边同时除以S（S≠0），化简得：

10p - (1 - p) = 0
11p = 1
p = 1/11

也就是说，要让游戏公平，你猜对体重在±x范围内的概率必须是1/11。

步骤3：结合体重分布计算x #

题目没给出狗体重的可能范围，我们需要做一个合理的简化假设：狗的体重在某个区间[a, b]内均匀分布（这是这类问题的常规假设）。

此时，猜对的概率p等于「猜对的区间长度」除以「总可能区间长度」：

p = 2x / (b - a) = 1/11

解得：

x = (b - a) / 22

举个例子：如果室友的狗体重在20kg到42kg之间（总长度22kg），那么x=(42-20)/22=1kg——也就是你猜对体重在±1kg范围内的概率是2/22=1/11，此时游戏的期望价值为0，完全公平。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cyberboy