Gamma(n,1/λ)与Gamma(1,λ*)之和W的概率密度函数求解

假设随机变量 ( X \sim \text{Gamma}(n, 1/\lambda) )，( Y \sim \text{Gamma}(1, \lambda^*) )，且二者相互独立，我们来推导 ( W = X + Y ) 的概率密度函数（pdf）。

首先明确两个分布的pdf形式：

• ( X ) 的pdf（形状参数为 ( n )，尺度参数为 ( 1/\lambda )）：
  [
  f_X(x) = \frac{\lambda^n x^{n-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(n)}, \quad x > 0
  ]
  其中 ( \Gamma(n) ) 是Gamma函数，若 ( n ) 为正整数，则 ( \Gamma(n) = (n-1)! )。
• ( Y ) 的pdf（( \text{Gamma}(1, \lambda^) ) 等价于尺度参数为 ( \lambda^ ) 的指数分布）：
  [
  f_Y(y) = \frac{1}{\lambda^} e^{-y/\lambda}, \quad y > 0
  ]

由于 ( X ) 和 ( Y ) 独立，( W = X + Y ) 的pdf是两个pdf的卷积，即：
[
f_W(w) = \int_0^w f_X(x) f_Y(w-x) dx
]

情况1：( \lambda \lambda^* \neq 1 ) #

将两个pdf代入卷积公式，先整理常数项和指数项：
[
f_W(w) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n) \lambda^} e^{-w/\lambda} \int_0^w x^{n-1} e^{-x\left(\lambda - \frac{1}{\lambda^*}\right)} dx
]

令 ( a = \lambda - \frac{1}{\lambda^} = \frac{\lambda \lambda^ - 1}{\lambda^*} )，做变量替换 ( t = a x )（即 ( x = t/a )，( dx = dt/a )），积分上下限变为 ( t=0 ) 到 ( t = a w )，此时积分可转化为下不完全Gamma函数 ( \gamma(n, z) = \int_0^z t^{n-1} e^{-t} dt )：
[
\int_0^w x^{n-1} e^{-a x} dx = \frac{1}{a^n} \gamma(n, a w)
]

将 ( a = \frac{\lambda \lambda^* - 1}{\lambda^} ) 代回，整理常数项后得到最终pdf：
[
f_W(w) = \frac{\lambda^n (\lambda^*){n-1}}{\Gamma(n) (\lambda \lambda^ - 1)^n} e^{-w/\lambda} \gamma\left(n, \frac{(\lambda \lambda^ - 1)w}{\lambda^*}\right), \quad w > 0
]

情况2：( \lambda \lambda^* = 1 )（即 ( \lambda^* = 1/\lambda )） #

此时 ( a = 0 )，指数项 ( e^{-a x} = 1 )，积分简化为：
[
\int_0^w x^{n-1} dx = \frac{w^n}{n}
]

代入卷积公式，结合 ( \lambda^* = 1/\lambda ) 和 ( n \Gamma(n) = \Gamma(n+1) ) 整理后：
[
f_W(w) = \frac{\lambda^{n+1} w^n e^{-\lambda w}}{\Gamma(n+1)}, \quad w > 0
]
这正是 ( \text{Gamma}(n+1, 1/\lambda) ) 的pdf，符合“同尺度参数的Gamma分布之和仍为Gamma分布”的已知结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paola