如何证明给定变换是线性变换？已知基向量像的证明方法咨询

嘿，我懂你的困惑——明明知道线性变换要证加性和齐次性，但碰到只给基向量映射结果的场景，就不知道从哪切入了对吧？别慌，咱们一步步拆解这个问题，用你已经掌握的知识就能搞定。

第一步：先写出变换T对任意向量的表达式 #

因为${(1,0),(0,1)}$是$\mathbb{R}^{2$的标准基，所以$\mathbb{R}}2$里的任意向量$\mathbf{v}=(x,y)$都可以表示成基向量的线性组合：
$$\mathbf{v} = x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1)$$

根据线性变换的核心性质（如果T是线性的，就必须满足线性组合的像等于像的线性组合），我们可以直接推导出T作用在任意$\mathbf{v}$上的结果：
$$
\begin{align*}
T(\mathbf{v}) &= T(x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1)) \
&= x \cdot T((1,0)) + y \cdot T((0,1)) \
&= x(1,2,0) + y(1,0,-1) \
&= (x+y, 2x, -y)
\end{align*}
$$

这一步是关键——把T从“只知道基向量映射”扩展到“对所有向量都有明确表达式”，接下来就可以用你熟悉的方法验证线性性了。

第二步：验证加性（Additivity） #

任取两个向量$\mathbf{v}_1=(x_1,y_1)$和$\mathbf{v}_2=(x_2,y_2)$，我们需要证明$T(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) = T(\mathbf{v}_1) + T(\mathbf{v}_2)$：

• 先计算$\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 = (x_1+x_2, y_1+y_2)$，代入T的表达式：
  $$T(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) = ( (x_1+x_2)+(y_1+y_2), 2(x_1+x_2), -(y_1+y_2) ) = (x_1+y_1+x_2+y_2, 2x_1+2x_2, -y_1-y_2)$$
• 再计算$T(\mathbf{v}_1) + T(\mathbf{v}_2)$：
  $$T(\mathbf{v}_1) = (x_1+y_1, 2x_1, -y_1), \quad T(\mathbf{v}_2) = (x_2+y_2, 2x_2, -y_2)$$
  把它们相加：
  $$T(\mathbf{v}_1)+T(\mathbf{v}_2) = (x_1+y_1+x_2+y_2, 2x_1+2x_2, -y_1-y_2)$$

两者完全相等，加性条件满足。

第三步：验证齐次性（Homogeneity） #

任取向量$\mathbf{v}=(x,y)$和任意实数标量$k$，证明$T(k\mathbf{v}) = k \cdot T(\mathbf{v})$：

• 计算$k\mathbf{v} = (kx, ky)$，代入T的表达式：
  $$T(k\mathbf{v}) = (kx+ky, 2(kx), -(ky)) = (k(x+y), 2kx, -ky)$$
• 计算$k \cdot T(\mathbf{v})$：
  $$k \cdot T(\mathbf{v}) = k \cdot (x+y, 2x, -y) = (k(x+y), 2kx, -ky)$$

两者完全一致，齐次性条件也满足。

额外补充：背后的定理支撑 #

其实这里有个线性代数的基本结论：如果给定线性空间的一组基，并且指定了每个基向量在变换下的像，那么存在唯一的线性变换满足这个映射。我们上面的操作，就是先把这个唯一的线性变换的表达式写出来，再验证它确实符合线性变换的定义——这完全是符合逻辑的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sander