求证：对所有正整数l，∑ₖ=0^(3l-1)(-3)^k C(6l,2k+1)=0

嘿，咱们跟着老师给的提示，用复数和二项式定理一步步搞定这个证明～

第一步：利用二项式定理的奇数项求和特性 #

我们知道，对任意复数$a,b$和正整数$n$，两个二项式展开式相减后，偶数项会完全抵消，只留下奇数项的两倍：
$$(a + b)^n - (a - b)^n = 2\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \binom{n}{2k+1}a^{n-2k-1}b{2k+1}$$
这个公式是我们证明的核心工具。

第二步：匹配题目选择合适的$a,b$ #

题目里的求和式包含$(-3)^{k$，我们可以利用虚数单位$i$（满足$i}2=-1$）来构造对应项：

• 令$a = 1$
• 令$b = i\sqrt{3}$

此时$b^{2k} = (i\sqrt{3})^{2k} = [(i\sqrt{3})^2]k = (-3)^{k$，完美匹配题目中的$(-3)}k$项。

第三步：代入公式计算左右两边 #

把$a=1$，$b=i\sqrt{3}$，$n=6l$代入上述公式：

右边展开（对应题目求和式）：

$$
2\sum_{k=0}^{3l-1} \binom{6l}{2k+1} \cdot 1^{6l-2k-1} \cdot (i\sqrt{3})^{2k+1}
$$
先简化$(i\sqrt{3})^{2k+1}$：
$$(i\sqrt{3})^{2k+1} = (i\sqrt{3}) \cdot (i\sqrt{3})^{2k} = i\sqrt{3} \cdot (-3)^k$$
代入后右边变为：
$$
2\sum_{k=0}^{3l-1} \binom{6l}{2k+1} \cdot i\sqrt{3} \cdot (-3)^k = 2i\sqrt{3} \cdot \sum_{k=0}^{3l-1} (-3)^k \binom{6l}{2k+1}
$$
我们把题目里的求和式记为$S$，那么右边就等于$2i\sqrt{3} \cdot S$。

左边计算（利用复数极坐标幂次）：

先把$1+i\sqrt{3}$转换成极坐标形式（方便计算高次幂）：
$$1+i\sqrt{3} = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
根据欧拉公式，这可以写成$2e^{i\pi/3}$，它的$6l$次幂为：
$$(1+i\sqrt{3})^{6l} = (2e^{i\pi/3}){6l} = 2^{6l}e{i\cdot 6l \cdot \pi/3} = 2^{6l}e{i2l\pi}$$
因为$l$是正整数，$2l\pi$是$2\pi$的整数倍，所以$e^{i2l\pi} = \cos2l\pi + i\sin2l\pi = 1$，因此：
$$(1+i\sqrt{3})^{6l} = 2^{6l}$$

同理，$1-i\sqrt{3} = 2e^{-i\pi/3}$，它的$6l$次幂为：
$$(1-i\sqrt{3})^{6l} = 2^{6l}e{-i2l\pi} = 2^{6l}$$

所以左边的差值为：
$$(1+i\sqrt{3})^{6l} - (1-i\sqrt{3})^{6l} = 2^{6l} - 2^{6l} = 0$$

第四步：推导最终结论 #

左边等于0，右边等于$2i\sqrt{3} \cdot S$，因此：
$$0 = 2i\sqrt{3} \cdot S$$
因为$2i\sqrt{3}$是一个非零复数，所以必须有$S=0$，也就是：
$$\sum_{k=0}^{3l-1} (-3)^{k} \binom{6l}{2k+1} = 0$$
对所有正整数$l$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GoldkidofNmbTh